Номер 5, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 4. Механическая работа. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Параграф 25. Общее определение механической работы. Мощность. Вопросы - номер 5, страница 159.

Условие.

5. Как рассчитать работу изменяющейся силы, которая действует на движущуюся материальную точку?

Решение.

Если на движущуюся материальную точку действует сила, которая изменяется в процессе движения (меняется ее модуль, направление или и то, и другое), то для расчета работы этой силы нельзя использовать простую формулу для постоянной силы $A = F \cdot S \cdot \cos \alpha$. В таких случаях применяют методы математического анализа, основанные на принципе разбиения сложного процесса на простые составляющие.

Основная идея заключается в том, чтобы разбить всю траекторию движения точки на очень малые (бесконечно малые) участки перемещения $d\vec{l}$. На каждом таком малом участке силу $\vec{F}$ можно считать практически постоянной. Работа, совершаемая силой на этом бесконечно малом участке, называется элементарной работой $dA$.

Элементарная работа вычисляется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор элементарного перемещения $d\vec{l}$:

$dA = \vec{F} \cdot d\vec{l} = F \cdot dl \cdot \cos\alpha$

где $\text{F}$ и $dl$ – модули векторов силы и перемещения соответственно, а $\alpha$ – угол между ними в данной точке траектории.

Полная работа $\text{A}$ на всем пути от начальной точки 1 до конечной точки 2 находится путем суммирования (интегрирования) элементарных работ по всей траектории:

$A = \int_{1}^{2} dA = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{l}$

Этот интеграл называется криволинейным интегралом.

В частном случае, когда движение происходит вдоль одной прямой (например, оси Ox), и сила также действует вдоль этой прямой, но ее проекция на ось зависит от координаты $F_x(x)$, формула для работы упрощается до определенного интеграла:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$

где $x_1$ и $x_2$ – начальная и конечная координаты точки.

Исходя из этого, существуют следующие основные способы расчета работы переменной силы.

1. Графический метод

Если построить график зависимости проекции силы на направление перемещения от координаты (или от пути $\text{s}$), то работа, совершаемая силой при перемещении из точки $s_1$ в точку $s_2$, численно равна площади фигуры под графиком функции $F_s(s)$ на этом участке. Если на каких-то участках проекция силы отрицательна (сила направлена против движения), то площадь соответствующей части фигуры также считается отрицательной.

2. Аналитический метод (интегрирование)

Если известна функциональная зависимость силы от координаты $F_x(x)$, то работа вычисляется путем взятия определенного интеграла, как показано в формуле выше. Это наиболее общий и точный метод.

3. Через теорему о кинетической энергии

Этот метод позволяет найти работу не конкретной силы, а равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку. Согласно теореме о кинетической энергии, работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела:

$A_{net} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

Этот способ удобен, если известны масса тела, его начальная и конечная скорости, но неизвестен точный закон изменения силы.

Ответ: Работу изменяющейся силы $\vec{F}$, действующей на движущуюся материальную точку, можно рассчитать одним из следующих способов:
1. Аналитически, через вычисление криволинейного интеграла $A = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{l}$. Для прямолинейного движения формула упрощается до $A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$.
2. Графически, как площадь фигуры под графиком зависимости проекции силы на направление перемещения от координаты.
3. Для равнодействующей силы — через изменение кинетической энергии тела по формуле $A_{net} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$.