Номер 3, страница 100 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава III. Механические колебания и волны. Параграф 20. Вынужденные колебания. Резонанс - номер 3, страница 100.

Условие.

3. Изобразите графики зависимости $x(t)$ для свободных незатухающих и затухающих колебаний. Что можно сказать о периоде и частоте затухающих колебаний?

Решение.

Решение

Графики зависимости x(t) для свободных незатухающих и затухающих колебаний

Свободные колебания — это колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. Они могут быть незатухающими (в идеализированных системах без потерь энергии) и затухающими (в реальных системах с трением или сопротивлением).

Свободные незатухающие колебания
Это гармонические колебания с постоянной амплитудой и периодом. Уравнение, описывающее смещение $\text{x}$ от положения равновесия в зависимости от времени $\text{t}$, имеет вид:
$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$
Здесь $\text{A}$ — постоянная амплитуда, $\omega_0$ — собственная циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза. График таких колебаний — это синусоида (или косинусоида).

Свободные затухающие колебания
В реальных условиях энергия колебательной системы постепенно расходуется на преодоление сил сопротивления, поэтому амплитуда колебаний со временем уменьшается. Уравнение затухающих колебаний:
$x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \phi_0)$
Здесь $A_0$ — начальная амплитуда, $\beta$ — коэффициент затухания, $\omega$ — частота затухающих колебаний. Амплитуда $A(t) = A_0 e^{-\beta t}$ убывает по экспоненциальному закону.

Что можно сказать о периоде и частоте затухающих колебаний?

Наличие сил сопротивления (затухания) не только уменьшает амплитуду, но и изменяет частоту и период колебаний. Циклическая частота затухающих колебаний $\omega$ связана с собственной частотой $\omega_0$ (частотой колебаний той же системы без затухания) и коэффициентом затухания $\beta$ следующим образом:
$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$
Из этой формулы следует, что частота затухающих колебаний $\omega$ всегда меньше собственной частоты $\omega_0$.
$\omega < \omega_0$
Период колебаний $\text{T}$ обратно пропорционален частоте ($T = 2\pi / \omega$). Следовательно, для периода затухающих колебаний $\text{T}$ и периода собственных незатухающих колебаний $T_0 = 2\pi/\omega_0$ справедливо:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}$
Так как знаменатель в выражении для $\text{T}$ меньше, чем $\omega_0$, то период затухающих колебаний $\text{T}$ всегда больше периода собственных колебаний $T_0$.
$T > T_0$
Таким образом, затухание в системе приводит к замедлению колебаний: их частота уменьшается, а период увеличивается.

Ответ: График свободных незатухающих колебаний представляет собой синусоиду с постоянной амплитудой. График свободных затухающих колебаний — это синусоида, амплитуда которой убывает со временем по экспоненциальному закону (см. графики выше). Период затухающих колебаний больше, а их частота — меньше, чем соответствующие период и частота свободных незатухающих колебаний для той же колебательной системы.