Номер 11, страница 96 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава III. Механические колебания и волны. Параграф 19. Период механических колебаний - номер 11, страница 96.

Условие.

11*. К гвоздю, вбитому в стену, подвешен груз на нити длиной 4 м. Посередине расстояния от точки подвеса до шарика вбит гвоздь (рис. 99). Определите период колебаний такого маятника.

Рис. 99. К заданию 11

Решение.

Дано:

Длина нити маятника, $L = 4$ м.

Дополнительный гвоздь вбит на расстоянии $L/2$ от точки подвеса.

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{T}$ — период колебаний маятника.

Решение:

Полный период колебаний $\text{T}$ — это время, за которое маятник совершает одно полное колебание (например, от крайнего левого положения до крайнего правого и обратно в крайнее левое).

Колебание такого маятника является составным. Оно состоит из двух частей, соответствующих двум разным длинам маятника.

1. Когда маятник движется в левой полуплоскости (относительно вертикального положения равновесия), он колеблется на нити полной длины $l_1 = L = 4$ м. Период колебаний для такого маятника, если бы он совершал полные колебания, равен $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$. Время движения от крайнего левого положения до положения равновесия составляет четверть этого периода, и столько же времени занимает движение обратно от положения равновесия до крайнего левого. Таким образом, время, затрачиваемое на эту часть колебания (туда и обратно), равно половине периода $T_1$.

2. Когда маятник движется в правой полуплоскости, нить задевает за гвоздь. Эффективная точка подвеса смещается к гвоздю, и новая длина маятника становится $l_2 = L - \frac{L}{2} = \frac{4 \text{ м}}{2} = 2$ м. Период колебаний для такого маятника равен $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$. Время, затрачиваемое на правую часть колебания (от положения равновесия до крайнего правого и обратно), равно половине периода $T_2$.

Следовательно, полный период колебаний $\text{T}$ нашего составного маятника складывается из половины периода маятника с длиной $l_1$ и половины периода маятника с длиной $l_2$:

$T = \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{2}$

Подставим формулы для $T_1$ и $T_2$:

$T = \frac{1}{2} \left( 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} + 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} \right) = \pi \left( \sqrt{\frac{l_1}{g}} + \sqrt{\frac{l_2}{g}} \right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{\sqrt{g}}$ за скобки:

$T = \frac{\pi}{\sqrt{g}} (\sqrt{l_1} + \sqrt{l_2})$

Подставим числовые значения, где $l_1 = 4$ м, $l_2 = 2$ м и примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²:

$T = \frac{3.14}{\sqrt{9.8}} (\sqrt{4} + \sqrt{2}) \approx \frac{3.14}{3.13} (2 + 1.41) \approx 1.003 \cdot 3.41 \approx 3.42$ с.

Ответ:

Период колебаний такого маятника составляет примерно $3.42$ с.