Номер 10.6, страница 49 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 10.6. Автомобиль движется с ускорением $1 \text{ м/с}^2$ вверх по дороге под углом $17,5^\circ$ к горизонтальной поверхности. Чему равно минимально возможное значение коэффициента трения $\mu$ между шинами и дорогой?

Дано:

Ускорение автомобиля, $a = 1 \text{ м/с}^2$

Угол наклона дороги, $\alpha = 17,5^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Минимальный коэффициент трения, $\mu_{min}$

Решение:

На автомобиль, движущийся вверх по наклонной плоскости, действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. В данном случае сила трения является движущей силой, создаваемой ведущими колесами автомобиля.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{тр}$.

Выберем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY — перпендикулярно ей. Спроецируем уравнение на эти оси:

Проекция на ось OY:

$N - mg \cos\alpha = 0 \implies N = mg \cos\alpha$

Проекция на ось OX:

$ma = F_{тр} - mg \sin\alpha$

Из уравнения для оси OX выразим силу трения, необходимую для движения с заданным ускорением:

$F_{тр} = ma + mg \sin\alpha$

Эта сила трения не может превышать максимальную силу трения покоя, которая равна $F_{тр, max} = \mu N$. Для того чтобы автомобиль мог двигаться, должно выполняться условие $F_{тр} \le F_{тр, max}$.

Минимально возможное значение коэффициента трения $\mu_{min}$ соответствует случаю, когда требуемая сила трения равна максимальной возможной:

$F_{тр} = \mu_{min} N$

Подставим выражения для $F_{тр}$ и $\text{N}$:

$ma + mg \sin\alpha = \mu_{min} mg \cos\alpha$

Сократим массу $\text{m}$:

$a + g \sin\alpha = \mu_{min} g \cos\alpha$

Выразим $\mu_{min}$:

$\mu_{min} = \frac{a + g \sin\alpha}{g \cos\alpha} = \frac{a}{g \cos\alpha} + \tan\alpha$

Подставим числовые значения:

$\mu_{min} = \frac{1}{9,8 \cdot \cos(17,5^\circ)} + \tan(17,5^\circ)$

$\cos(17,5^\circ) \approx 0,9537$

$\tan(17,5^\circ) \approx 0,3153$

$\mu_{min} \approx \frac{1}{9,8 \cdot 0,9537} + 0,3153 \approx \frac{1}{9,346} + 0,3153 \approx 0,107 + 0,3153 \approx 0,4223$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\mu_{min} \approx 0,42$

Ответ: минимально возможное значение коэффициента трения равно примерно 0,42.