Номер 10.7, страница 49 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 10.7. По ледяной горке, составляющей угол $53^\circ$ с горизонтальной поверхностью, шайба после удара клюшкой прошла снизу вверх до остановки путь $5,5 \text{ м}$ за $1 \text{ с}$. За какое время шайба соскользнёт вниз до начальной точки?

Дано:

Угол наклона горки, $\alpha = 53^\circ$

Путь, пройденный вверх, $S = 5,5 \text{ м}$

Время подъема, $t_{вверх} = 1 \text{ с}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Время спуска, $t_{вниз}$

Решение:

Решение задачи можно разбить на несколько этапов: анализ движения шайбы вверх по склону для определения ускорения, анализ сил для нахождения связи между ускорениями при движении вверх и вниз, и, наконец, расчет времени спуска.

1. Движение вверх.

Шайба движется вверх по наклонной плоскости равнозамедленно. Начав движение с некоторой скоростью $v_0$, она останавливается ($v=0$), пройдя путь $\text{S}$ за время $t_{вверх}$. Для равноускоренного движения справедливы формулы:

$S = v_0 t_{вверх} - \frac{a_{вверх} t_{вверх}^2}{2}$

$v = v_0 - a_{вверх} t_{вверх}$

Поскольку в конце подъема скорость равна нулю, из второго уравнения получаем $v_0 = a_{вверх} t_{вверх}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$S = (a_{вверх} t_{вверх}) \cdot t_{вверх} - \frac{a_{вверх} t_{вверх}^2}{2} = \frac{a_{вверх} t_{вверх}^2}{2}$

Отсюда мы можем найти величину ускорения (торможения) при движении вверх:

$a_{вверх} = \frac{2S}{t_{вверх}^2} = \frac{2 \cdot 5,5 \text{ м}}{(1 \text{ с})^2} = 11 \text{ м/с}^2$

2. Анализ сил.

Рассмотрим силы, действующие на шайбу, в проекции на ось, направленную вдоль склона вниз.

При движении вверх сила трения $F_{тр}$ и составляющая силы тяжести $mg \sin\alpha$ направлены в одну сторону (вниз по склону), и их сумма сообщает шайбе ускорение $a_{вверх}$:

$m a_{вверх} = mg \sin\alpha + F_{тр}$

При движении вниз составляющая силы тяжести $mg \sin\alpha$ по-прежнему направлена вниз, но сила трения $F_{тр}$ направлена против движения, то есть вверх по склону. Ускорение при спуске обозначим $a_{вниз}$:

$m a_{вниз} = mg \sin\alpha - F_{тр}$

Сила трения равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$, где $\mu$ - коэффициент трения. Разделив оба уравнения на $\text{m}$, получим:

$a_{вверх} = g \sin\alpha + \mu g \cos\alpha$

$a_{вниз} = g \sin\alpha - \mu g \cos\alpha$

3. Вычисление ускорения при спуске.

Сложим два полученных выражения для ускорений:

$a_{вверх} + a_{вниз} = (g \sin\alpha + \mu g \cos\alpha) + (g \sin\alpha - \mu g \cos\alpha) = 2g \sin\alpha$

Отсюда можно выразить ускорение при спуске $a_{вниз}$, не вычисляя коэффициент трения $\mu$:

$a_{вниз} = 2g \sin\alpha - a_{вверх}$

Для решения задачи примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Для угла $\alpha = 53^\circ$ можно использовать распространенные в физических задачах приближения: $\sin(53^\circ) \approx 0,8$ и $\cos(53^\circ) \approx 0,6$.

Подставим числовые значения:

$a_{вниз} = 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 - 11 \text{ м/с}^2 = 16 \text{ м/с}^2 - 11 \text{ м/с}^2 = 5 \text{ м/с}^2$

4. Вычисление времени спуска.

При спуске шайба движется из состояния покоя равноускоренно с ускорением $a_{вниз}$ и проходит тот же путь $\text{S}$. Воспользуемся формулой пути для равноускоренного движения без начальной скорости:

$S = \frac{a_{вниз} t_{вниз}^2}{2}$

Выразим и найдем время спуска $t_{вниз}$:

$t_{вниз} = \sqrt{\frac{2S}{a_{вниз}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5,5 \text{ м}}{5 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{11}{5}} \text{ с} = \sqrt{2,2} \text{ с} \approx 1,48 \text{ с}$

Ответ: время, за которое шайба соскользнёт вниз до начальной точки, составляет примерно 1,48 с.