Номер 5, страница 51 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

5. Как была экспериментально определена гравитационная постоянная?

Гравитационная постоянная $\text{G}$ была впервые экспериментально определена в 1798 году английским ученым Генри Кавендишем. Его эксперимент, основанный на измерении чрезвычайно слабой силы притяжения между телами в лабораторных условиях, стал классическим и позволил с высокой точностью найти значение этой фундаментальной константы.

Для измерения силы притяжения Кавендиш использовал прибор, называемый крутильными весами. Он представляет собой легкое горизонтальное коромысло (стержень) длиной около 2 метров, на концах которого закреплены два одинаковых небольших свинцовых шарика массой $\text{m}$. Коромысло подвешено за середину на очень тонкой и упругой нити (в оригинальном опыте — посеребренная медная проволока), так что оно может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости.

Суть эксперимента заключалась в следующем: рядом с маленькими шариками на известном расстоянии $\text{r}$ неподвижно размещали два массивных свинцовых шара массой $\text{M}$. Сила гравитационного притяжения между каждой парой шаров (большим и малым) создает момент силы, который поворачивает коромысло. Поворот коромысла, в свою очередь, закручивает нить подвеса. При закручивании в нити возникает упругий момент силы, который противодействует повороту и стремится вернуть коромысло в исходное положение. В итоге коромысло останавливается в новом положении равновесия, когда гравитационный момент силы уравновешивается упругим моментом силы нити.

Сила гравитационного притяжения между одним большим и одним малым шаром определяется законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{Mm}{r^2}$. Поскольку на коромысло действуют две такие силы, создающие пару сил, общий гравитационный момент, вращающий коромысло, равен $M_{грав} = 2 \cdot F \cdot L$, где $\text{L}$ — половина длины коромысла (плечо силы).

Упругий момент силы, возникающий в закрученной нити, согласно закону Гука для кручения, пропорционален углу закручивания $\phi$: $M_{упр} = k \cdot \phi$, где $\text{k}$ — коэффициент упругости нити на кручение (торсионная жесткость).

В положении равновесия моменты сил равны: $M_{грав} = M_{упр}$.

$2 \cdot G \frac{Mm}{r^2} \cdot L = k \phi$

Из этого уравнения можно выразить гравитационную постоянную:

$G = \frac{k \phi r^2}{2MLm}$

Для вычисления $\text{G}$ необходимо было измерить все величины в правой части формулы. Массы шаров $\text{M}$ и $\text{m}$, расстояние $\text{r}$ между центрами взаимодействующих шаров и длина плеча $\text{L}$ измерялись напрямую. Угол поворота $\phi$, который был очень мал, измерялся с высокой точностью с помощью оптического метода: на коромысле закреплялось зеркальце, которое отражало луч света на удаленную шкалу. Даже небольшой поворот коромысла приводил к значительному смещению светового пятна, что позволяло точно измерить угол.

Наибольшую сложность представляло определение коэффициента $\text{k}$. Кавендиш определил его, измерив период $\text{T}$ свободных крутильных колебаний коромысла (когда большие шары убраны). Период колебаний связан с коэффициентом $\text{k}$ и моментом инерции $\text{I}$ коромысла с малыми шарами соотношением:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k}}$

Отсюда можно было найти $k = I (\frac{2\pi}{T})^2$. Момент инерции $\text{I}$ был рассчитан исходя из масс $\text{m}$ и размеров коромысла.

Таким образом, измерив все необходимые параметры, Кавендиш смог вычислить значение гравитационной постоянной. Его результат отличался от современного принятого значения всего на 1%.

Ответ: Гравитационная постоянная была экспериментально определена Генри Кавендишем в 1798 году с помощью крутильных весов. Метод основан на измерении угла, на который поворачивается горизонтальный стержень с двумя малыми массами под действием гравитационного притяжения двух неподвижных больших масс. Вращающий момент гравитационных сил уравновешивается упругим моментом закрученной нити подвеса. Измерив угол поворота, массы тел, расстояния между ними и предварительно определив жесткость нити на кручение (через период собственных колебаний системы), можно вычислить значение гравитационной постоянной $\text{G}$. Современное значение $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$.