Номер 11.3, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 11.3. На каком расстоянии от поверхности Земли сила земного притяжения, действующая на тело массой 1 кг, равна 2,5 Н? Ускорение свободного падения у поверхности Земли примите равным $10 \text{ м/с}^2$.

Дано:

$m = 1 \text{ кг}$

$F = 2,5 \text{ Н}$

$g_0 = 10 \text{ м/с}^2$

Все величины представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Сила земного притяжения (сила тяжести), действующая на тело на поверхности Земли, вычисляется по формуле:

$F_0 = m \cdot g_0$

где $\text{m}$ - масса тела, а $g_0$ - ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Подставим известные значения:

$F_0 = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 10 \text{ Н}$

Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра Земли. Обозначим радиус Земли как $\text{R}$, а искомое расстояние от поверхности как $\text{h}$. Тогда расстояние от центра Земли до тела будет равно $R+h$.

Отношение силы тяжести $\text{F}$ на высоте $\text{h}$ к силе тяжести $F_0$ на поверхности можно записать как:

$\frac{F}{F_0} = \frac{(G \frac{M \cdot m}{(R+h)^2})}{(G \frac{M \cdot m}{R^2})} = \frac{R^2}{(R+h)^2}$

где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса Земли.

Теперь подставим числовые значения для сил из условия и ранее вычисленного значения:

$\frac{F}{F_0} = \frac{2,5 \text{ Н}}{10 \text{ Н}} = \frac{1}{4}$

Приравнивая два выражения для отношения сил, получаем:

$\frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $\text{R}$ и $\text{h}$ - положительные величины):

$\frac{R}{R+h} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Отсюда выразим $\text{h}$:

$2R = R+h$

$h = 2R - R = R$

Таким образом, искомое расстояние от поверхности Земли равно ее радиусу. Примем средний радиус Земли равным $R \approx 6400 \text{ км}$.

Ответ: $h = 6400 \text{ км}$.