Номер 1, страница 55 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

1. Какая скорость называется первой космической скоростью?

1. Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником небесного тела и начало двигаться по круговой орбите вокруг него. Скорость сообщается в направлении, перпендикулярном радиусу, проведенному из центра небесного тела к спутнику.

Решение

Для вывода формулы первой космической скорости рассмотрим тело массой $\text{m}$, которое движется по круговой орбите радиусом $\text{R}$ вокруг планеты массой $\text{M}$. Чтобы тело двигалось по такой орбите, на него должна действовать центростремительная сила, роль которой выполняет сила всемирного тяготения.

Сила всемирного тяготения $F_т$, действующая на тело, определяется по формуле:

$F_т = G \frac{Mm}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Центростремительная сила $F_{цс}$, необходимая для движения тела со скоростью $v_1$ по окружности радиусом $\text{R}$, равна:

$F_{цс} = \frac{mv_1^2}{R}$

При движении по круговой орбите эти силы равны ($F_т = F_{цс}$):

$G \frac{Mm}{R^2} = \frac{mv_1^2}{R}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ в обеих частях уравнения и один из радиусов $\text{R}$:

$G \frac{M}{R} = v_1^2$

Отсюда находим первую космическую скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты (или на высоте орбиты). Ускорение свободного падения определяется как $g = G \frac{M}{R^2}$, откуда $GM = gR^2$. Подставим это выражение в формулу для скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Для Земли, если рассматривать орбиту вблизи её поверхности, радиус орбиты $\text{R}$ примерно равен среднему радиусу Земли ($R \approx 6,37 \cdot 10^6$ м), а ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с². Тогда первая космическая скорость для Земли составит:

$v_1 = \sqrt{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{62,4 \cdot 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 7900 \text{ м/с} \approx 7,9 \text{ км/с}$

Ответ: Первая космическая скорость – это минимальная скорость, необходимая для вывода тела на круговую орбиту вокруг небесного тела. Она зависит от массы небесного тела $\text{M}$ и радиуса орбиты $\text{R}$ и вычисляется по формулам $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ или $v_1 = \sqrt{gR}$. Для планеты Земля её значение у поверхности составляет примерно 7,9 км/с.