Номер 12.1, страница 56 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 12.1. Спутник планеты Марс Деймос обращается по орбите радиусом 23 460 км с периодом 1,263 земных суток. Определите массу планеты Марс.

Дано:

Радиус орбиты Деймоса, $R = 23\,460$ км

Период обращения Деймоса, $T = 1,263$ земных суток

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Перевод в систему СИ:

$R = 23\,460 \text{ км} = 23\,460 \times 10^3 \text{ м} = 2,346 \times 10^7 \text{ м}$

$T = 1,263 \text{ суток} = 1,263 \times 24 \text{ часа} \times 3600 \text{ с/час} = 109147,2 \text{ с}$

Найти:

Массу планеты Марс, $M_{Марс}$

Решение:

Движение спутника Деймоса по орбите вокруг Марса происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять гравитационную силу $F_g$ и центростремительную силу $F_c$:

$F_g = F_c$

Гравитационная сила, действующая на Деймос со стороны Марса, определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_{Марс} m}{R^2}$

где $M_{Марс}$ — искомая масса Марса, $\text{m}$ — масса Деймоса, $\text{R}$ — радиус орбиты.

Центростремительная сила, действующая на спутник, равна:

$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

где $\text{v}$ — орбитальная скорость спутника. Орбитальную скорость можно выразить через период обращения $\text{T}$:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим выражение для скорости в формулу центростремительной силы:

$F_c = m \frac{(2 \pi R / T)^2}{R} = m \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4 \pi^2 m R}{T^2}$

Теперь приравняем выражения для гравитационной и центростремительной сил:

$G \frac{M_{Марс} m}{R^2} = \frac{4 \pi^2 m R}{T^2}$

Масса спутника $\text{m}$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Это означает, что масса центрального тела может быть определена по параметрам орбиты спутника независимо от массы самого спутника. Выразим массу Марса $M_{Марс}$:

$G M_{Марс} T^2 = 4 \pi^2 R^3$

$M_{Марс} = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ в полученную формулу:

$M_{Марс} = \frac{4 \times (3,14159)^2 \times (2,346 \times 10^7 \text{ м})^3}{6,674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \times (109147,2 \text{ с})^2}$

$M_{Марс} \approx \frac{4 \times 9,87 \times (1,291 \times 10^{22} \text{ м}^3)}{6,674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \times (1,191 \times 10^{10} \text{ с}^2)}$

$M_{Марс} \approx \frac{5,096 \times 10^{23} \text{ кг} \cdot \text{м}^3/\text{c}^2}{7,951 \times 10^{-1} \text{ м³/с²}}$

$M_{Марс} \approx 6,41 \times 10^{23} \text{ кг}$

Ответ: масса планеты Марс составляет примерно $6,41 \times 10^{23}$ кг.