Номер 12.2, страница 56 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 12.2. При какой продолжительности суток на Земле вес тела на экваторе был бы равен нулю?

Дано:

Вес тела на экваторе, $P=0$

Экваториальный радиус Земли, $R \approx 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$R = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Продолжительность суток $\text{T}$.

Решение:

Вес тела $\text{P}$ — это сила, с которой тело давит на опору. Согласно третьему закону Ньютона, вес тела по модулю равен силе реакции опоры $\text{N}$. По условию задачи, вес тела на экваторе равен нулю, что означает $P=0$ и, следовательно, $N=0$.

На тело массой $\text{m}$, находящееся на экваторе, действуют две основные силы: сила гравитационного притяжения $F_g = mg$, направленная к центру Земли, и сила реакции опоры $\text{N}$, направленная от центра Земли. Тело вращается вместе с Землей, поэтому оно движется по окружности радиусом $\text{R}$ (радиус Земли) и обладает центростремительным ускорением $a_c$.

Второй закон Ньютона для тела на экваторе в проекции на радиальную ось, направленную к центру Земли, имеет вид:

$F_g - N = ma_c$

Подставляем условие невесомости $N=0$ в это уравнение:

$mg - 0 = ma_c$

$g = a_c$

Таким образом, для достижения невесомости на экваторе, центростремительное ускорение, обусловленное вращением Земли, должно быть равно ускорению свободного падения.

Центростремительное ускорение связано с периодом вращения $\text{T}$ (продолжительностью суток) и радиусом $\text{R}$ следующим образом:

$a_c = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость вращения, которая определяется как $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Подставив выражение для угловой скорости, получим:

$a_c = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Теперь приравниваем ускорение свободного падения и центростремительное ускорение:

$g = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Из этого уравнения выражаем искомую продолжительность суток $\text{T}$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 R}{g}$

$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$

Подставим числовые значения, принятые в условии:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \times 3.14159 \times \sqrt{653061.2 \text{ с}^2} \approx 6.2832 \times 808.12 \text{ с} \approx 5078.6 \text{ с}$

Для лучшего понимания переведем это время в более привычные единицы — часы и минуты:

$T \approx 5078.6 \text{ с} \approx \frac{5078.6}{60} \text{ мин} \approx 84.64 \text{ мин}$

$T \approx 84.64 \text{ мин} \approx \frac{84.64}{60} \text{ ч} \approx 1.41 \text{ часа}$

Таким образом, продолжительность суток должна была бы составлять примерно 1 час и 25 минут.

Ответ: Продолжительность суток на Земле, при которой вес тела на экваторе был бы равен нулю, составляет примерно 5079 секунд, или около 1.41 часа.