Номер 7, страница 55 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

7. Какая кривая называется эллипсом?

Решение

Эллипсом называется плоская кривая, представляющая собой геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Эта постоянная сумма должна быть больше, чем расстояние между фокусами.

Пусть $F_1$ и $F_2$ — фокусы эллипса, а $\text{M}$ — любая точка на эллипсе. Тогда, согласно определению, выполняется условие: $MF_1 + MF_2 = 2a$, где $ ext{2a}$ — константа.

Расстояние между фокусами обозначается как $ ext{2c}$. Для существования эллипса необходимо, чтобы $2a > 2c$, или $a > c$.

Основные элементы и свойства эллипса:
1. Фокусы: Две фиксированные точки $F_1$ и $F_2$ внутри эллипса.
2. Большая ось: Отрезок, проходящий через оба фокуса и соединяющий две самые удалённые точки эллипса (вершины). Её длина равна $ ext{2a}$.
3. Малая ось: Отрезок, перпендикулярный большой оси и проходящий через центр эллипса. Её длина равна $ ext{2b}$.
4. Центр: Точка пересечения большой и малой осей, середина отрезка, соединяющего фокусы.

Каноническое уравнение эллипса
Если центр эллипса совпадает с началом координат $(0,0)$, а фокусы лежат на оси $ ext{Ox}$, то уравнение эллипса имеет вид: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Здесь $\text{a}$ — большая полуось, а $\text{b}$ — малая полуось.
Параметры $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ (расстояние от центра до фокуса) связаны соотношением: $ a^2 = b^2 + c^2 $

Эксцентриситет
Эксцентриситет $\text{e}$ характеризует степень вытянутости эллипса и определяется как: $ e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} $
Для любого эллипса $0 \le e < 1$.
- Если $e=0$, то $a=b$, фокусы сливаются в центре, и эллипс становится окружностью.
- Чем ближе $\text{e}$ к 1, тем более вытянутым является эллипс.

Эллипс также можно получить как сечение конуса плоскостью, которая пересекает все его образующие.

Ответ: Эллипс — это геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.