Номер 2, страница 61 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

2. Может ли неподвижное тело в результате столкновения с ним тела, движущегося со скоростью $v_1$, приобрести скорость $v_2 > v_1$?

2. Да, такое возможно. Чтобы доказать это, рассмотрим столкновение двух тел с точки зрения законов сохранения импульса и энергии.

Рассмотрим систему из двух тел. Первое тело массой $m_1$ движется со скоростью $v_1$ и налетает на второе, покоящееся тело массой $m_2$. После столкновения скорости тел становятся $u_1$ и $v_2$ соответственно. Для простоты и наглядности рассмотрим одномерный центральный упругий удар, так как при таком столкновении передача кинетической энергии от одного тела к другому максимальна.

Дано:

Масса первого (налетающего) тела: $m_1$
Масса второго (покоящегося) тела: $m_2$
Начальная скорость первого тела: $v_{1, \text{нач}} = v_1$
Начальная скорость второго тела: $v_{2, \text{нач}} = 0$
Конечная скорость первого тела: $u_1$
Конечная скорость второго тела: $v_2$

Найти:

Условие, при котором $v_2 > v_1$.

Решение:

Запишем законы сохранения для данной системы:

1. Закон сохранения импульса:
Импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения. $m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 u_1 + m_2 v_2$ $m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 v_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии (для абсолютно упругого удара):
Кинетическая энергия системы до столкновения равна кинетической энергии системы после столкновения. $\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$ $m_1 v_1^2 = m_1 u_1^2 + m_2 v_2^2$ (2)

Теперь решим эту систему уравнений относительно $v_2$. Из уравнения (1) выразим $u_1$: $m_1 u_1 = m_1 v_1 - m_2 v_2 \implies u_1 = v_1 - \frac{m_2}{m_1}v_2$

Преобразуем уравнения (1) и (2): $m_1(v_1 - u_1) = m_2 v_2$ $m_1(v_1^2 - u_1^2) = m_2 v_2^2 \implies m_1(v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2 v_2^2$

Разделим второе преобразованное уравнение на первое (при условии, что $v_1 \neq u_1$ и $v_2 \neq 0$, что соответствует случаю столкновения с передачей импульса): $v_1 + u_1 = v_2$ Отсюда $u_1 = v_2 - v_1$.

Подставим это выражение для $u_1$ в исходное уравнение закона сохранения импульса (1): $m_1 v_1 = m_1 (v_2 - v_1) + m_2 v_2$ $m_1 v_1 = m_1 v_2 - m_1 v_1 + m_2 v_2$ $2 m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v_2$

Выразим конечную скорость второго тела $v_2$: $v_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Теперь проверим, при каком условии выполняется неравенство $v_2 > v_1$: $\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1 > v_1$

Так как скорость $v_1 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $v_1$: $\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} > 1$

Умножим обе части на $(m_1 + m_2)$ (это положительная величина): $2 m_1 > m_1 + m_2$

Вычтем $m_1$ из обеих частей: $m_1 > m_2$

Таким образом, неподвижное тело может приобрести скорость, превышающую начальную скорость налетающего тела, если масса налетающего тела ($m_1$) больше массы покоящегося тела ($m_2$).

Примером может служить удар тяжелого шара для боулинга по легкому теннисному мячу. В предельном случае, когда тяжелое тело ($m_1$) сталкивается с очень легким ($m_2 \to 0$), скорость легкого тела после удара стремится к удвоенной скорости тяжелого: $v_2 \approx \frac{2m_1}{m_1}v_1 = 2v_1$.

Стоит отметить, что при неупругом ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю, и скорость $v_2$ будет меньше, чем в упругом случае. Однако, если условие $m_1 > m_2$ выполняется и столкновение не является полностью неупругим, то все еще возможна ситуация, когда $v_2 > v_1$.

Ответ: Да, может. Это произойдет в том случае, если масса налетающего тела больше массы покоящегося тела ($m_1 > m_2$).