Номер 11.4, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 11.4. Искусственный спутник Земли движется вокруг Земли равномерно по окружности, его центростремительное ускорение равно $2,5 \text{ м/с}^2$. Чему равно расстояние от поверхности Земли до спутника? Ускорение свободного падения у поверхности Земли примите равным $10 \text{ м/с}^2$. Расстояние выразите в радиусах Земли.

Дано:

Центростремительное ускорение спутника $a_c = 2,5 \text{ м/с}^2$
Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g_0 = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Расстояние от поверхности Земли до спутника $\text{h}$.

Решение:

Центростремительное ускорение спутника, движущегося по круговой орбите, создается силой гравитационного притяжения Земли. Таким образом, его ускорение равно ускорению свободного падения на высоте его орбиты.
Ускорение свободного падения $\text{g}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра Земли описывается законом всемирного тяготения: $g(r) = G \frac{M}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, а $\text{M}$ — масса Земли.
У поверхности Земли, где расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, ускорение равно $g_0$:
$g_0 = G \frac{M}{R_З^2}$ (1)
На орбите спутника, на высоте $\text{h}$ над поверхностью, расстояние до центра Земли составляет $r = R_З + h$. Центростремительное ускорение $a_c$ на этой высоте равно:
$a_c = G \frac{M}{(R_З+h)^2}$ (2)
Чтобы найти соотношение между высотой орбиты и радиусом Земли, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{a_c}{g_0} = \frac{G \frac{M}{(R_З+h)^2}}{G \frac{M}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З+h)^2} = \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2$
Подставим в это соотношение числовые значения из условия задачи:
$\frac{2,5}{10} = \frac{1}{4} = \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку расстояния являются положительными величинами):
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{R_З}{R_З+h} \implies \frac{1}{2} = \frac{R_З}{R_З+h}$
Из этого соотношения выразим искомую высоту $\text{h}$:
$R_З+h = 2R_З$
$h = 2R_З - R_З = R_З$
В соответствии с условием задачи, мы выразили расстояние в радиусах Земли. Оно оказалось равно одному радиусу Земли.

Ответ: расстояние от поверхности Земли до спутника равно одному радиусу Земли.