Номер 6, страница 51 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

6. Как можно измерить массу Земли?

Массу Земли невозможно измерить прямым взвешиванием на весах. Вместо этого её вычисляют косвенно, используя закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном. Этот метод требует знания трёх величин: ускорения свободного падения на поверхности Земли ($\text{g}$), радиуса Земли ($R_{\text{Земли}}$) и гравитационной постоянной ($\text{G}$).

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения ($\text{F}$) между двумя телами (например, Землёй и каким-либо предметом на её поверхности) определяется формулой:
$F = G \frac{M \cdot m}{R^2}$
где $\text{M}$ – масса Земли, $\text{m}$ – масса предмета, $\text{R}$ – радиус Земли (расстояние от центра Земли до предмета), а $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

С другой стороны, из второго закона Ньютона мы знаем, что сила тяжести, действующая на предмет, равна:
$F = m \cdot g$
где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Приравнивая эти два выражения для силы, получаем:
$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Масса предмета ($\text{m}$) в левой и правой частях уравнения сокращается, и мы можем выразить массу Земли ($\text{M}$):
$M = \frac{g \cdot R^2}{G}$

Чтобы вычислить массу Земли по этой формуле, необходимо экспериментально определить три значения.
Во-первых, ускорение свободного падения ($\text{g}$). Эту величину можно измерить с высокой точностью, например, с помощью маятника. У поверхности Земли её значение составляет примерно $9,8 \, \text{м/с}^2$.
Во-вторых, радиус Земли ($\text{R}$). Радиус Земли был измерен различными геодезическими и астрономическими методами. Средний радиус Земли составляет около $6371$ км.
В-третьих, гравитационная постоянная ($\text{G}$). Это самая сложная для измерения величина. Впервые её удалось измерить в 1798 году английскому учёному Генри Кавендишу с помощью крутильных весов. Этот эксперимент позволил измерить слабую гравитационную силу между свинцовыми шарами в лабораторных условиях и вычислить значение $\text{G}$. Именно поэтому эксперимент Кавендиша часто называют «взвешиванием Земли». Современное значение $G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$.

Подставив известные значения в формулу, можно рассчитать массу Земли.

Дано:

$g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$
$R \approx 6371 \, \text{км}$
$G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$

Перевод в систему СИ:
$R = 6371 \, \text{км} = 6371 \times 10^3 \, \text{м} = 6,371 \times 10^6 \, \text{м}$

Найти:

$M_{\text{Земли}}$

Решение:

Воспользуемся формулой для массы Земли:
$M_{\text{Земли}} = \frac{g \cdot R^2}{G}$
Подставим числовые значения:
$M_{\text{Земли}} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (6,371 \times 10^6 \, \text{м})^2}{6,674 \times 10^{-11} \, \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2}$
$M_{\text{Земли}} = \frac{9,8 \cdot (6,371)^2 \times 10^{12}}{6,674 \times 10^{-11}} \, \text{кг}$
$M_{\text{Земли}} \approx \frac{9,8 \cdot 40,59}{6,674} \times 10^{23} \, \text{кг}$
$M_{\text{Земли}} \approx \frac{397,78}{6,674} \times 10^{23} \, \text{кг}$
$M_{\text{Земли}} \approx 59,6 \times 10^{23} \, \text{кг} = 5,96 \times 10^{24} \, \text{кг}$

Современное, более точное значение массы Земли составляет $5,972 \times 10^{24} \, \text{кг}$. Расхождение в нашем расчёте связано с использованием округлённых значений $\text{g}$ и $\text{R}$, которые на самом деле варьируются в зависимости от точки на поверхности Земли.

Существуют и другие, более сложные методы, например, основанные на наблюдении за движением искусственных спутников Земли (используя третий закон Кеплера), которые позволяют уточнить это значение.

Ответ: Массу Земли измеряют косвенно, вычисляя её по закону всемирного тяготения. Для этого используют формулу $M_{\text{Земли}} = \frac{g \cdot R_{\text{Земли}}^2}{G}$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $R_{\text{Земли}}$ – радиус Земли, а $\text{G}$ – гравитационная постоянная, которые определяются экспериментально.