Вариант 6, страница 81 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-12. Механические колебания - страница 81.

Условие.

1. Маятниковые часы идут правильно при длине маятника, равной 55,8 см. На сколько секунд отстанут часы за сутки, если удлинить маятник на 0,5 см?

2. Изменится ли период колебаний качелей, если вместо одного человека сядут двое?

Решение.

1. Дано:

$l_1 = 55,8$ см

$\Delta l = 0,5$ см

$t = 1$ сутки

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0,558$ м

$\Delta l = 0,005$ м

$t = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400$ с

Найти:

$\Delta t$ — время отставания часов за сутки.

Решение:

Период колебаний математического маятника, которым можно смоделировать маятник часов, определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Пусть $T_1$ — это период колебаний при правильной длине маятника $l_1$, а $T_2$ — период при удлиненном маятнике длиной $l_2$. При увеличении длины маятника его период колебаний увеличивается, следовательно, часы начинают отставать.

Новая длина маятника: $l_2 = l_1 + \Delta l = 0,558 \text{ м} + 0,005 \text{ м} = 0,563 \text{ м}$.

За реальное время $\text{t}$ (сутки) часы с удлиненным маятником совершат $N_2 = t / T_2$ колебаний. Время, которое покажут эти часы, будет равно числу совершенных ими колебаний, умноженному на "правильный" период $T_1$: $t_{показанное} = N_2 \times T_1 = (t / T_2) \times T_1 = t \frac{T_1}{T_2}$.

Отставание часов за сутки $\Delta t$ равно разности между реальным временем и временем, которое они показывают:

$\Delta t = t - t_{показанное} = t - t \frac{T_1}{T_2} = t \left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right)$

Найдем отношение периодов, исходя из их формул:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Подставим это отношение в формулу для отставания:

$\Delta t = t \left(1 - \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}\right)$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$\Delta t = 86400 \text{ с} \times \left(1 - \sqrt{\frac{0,558 \text{ м}}{0,563 \text{ м}}}\right) \approx 86400 \times \left(1 - \sqrt{0,991119}\right) \approx 86400 \times (1 - 0,99555) = 86400 \times 0,00445 \approx 384,5 \text{ с}$

Ответ: часы отстанут на 384,5 секунды.

2. Для ответа на этот вопрос можно смоделировать качели как математический маятник. Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

В этой формуле $\text{l}$ — это расстояние от точки подвеса до центра масс колеблющейся системы (в данном случае, качели с людьми), а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Из формулы видно, что период колебаний не зависит от массы $\text{m}$ тела. Он зависит только от длины $\text{l}$. Когда на качели вместо одного человека сядут двое (предположим, рядом друг с другом), их общая масса увеличится, но их общий центр масс по высоте практически не изменится. Это означает, что эффективная длина маятника $\text{l}$ останется почти такой же.

Поскольку ни $\text{l}$, ни $\text{g}$ существенно не меняются, период колебаний также не должен измениться.

Ответ: Нет, период колебаний качелей практически не изменится, так как он в первую очередь зависит от длины подвеса (расстояния до центра масс), а не от массы колеблющегося тела.