Вариант 5, страница 81 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-12. Механические колебания - страница 81.

Условие.

1. Маленький шарик подвешен на нити длиной $1 \text{ м}$ к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно колебаться под действием ударов колёс о стыки рельсов? Длина рельса $12,5 \text{ м}$.

2. В ведре несут воду. После того как сделано несколько шагов, вода начинает расплёскиваться. Почему?

Решение.

1. Дано:

Длина нити $l = 1$ м

Длина рельса $L = 12,5$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Скорость вагона $\text{v}$

Решение:

Шарик на нити представляет собой математический маятник. Удары колес вагона о стыки рельсов — это периодическая вынуждающая сила, которая заставляет маятник колебаться. Шарик будет колебаться особенно сильно, когда наступит явление резонанса. Резонанс возникает в том случае, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы. Это также означает, что период вынуждающих толчков $T_{вн}$ должен быть равен периоду собственных колебаний маятника $T_c$.

Период собственных колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T_c = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Период вынуждающей силы равен времени, за которое вагон проезжает расстояние, равное длине одного рельса $\text{L}$, со скоростью $\text{v}$:

$T_{вн} = \frac{L}{v}$

Условие резонанса: $T_c = T_{вн}$.

$2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = \frac{L}{v}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость вагона $\text{v}$:

$v = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$v = \frac{12,5 \text{ м}}{2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{1 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}}} \approx \frac{12,5 \text{ м}}{6,28 \cdot \sqrt{0,102 \text{ с}^2}} \approx \frac{12,5 \text{ м}}{6,28 \cdot 0,32 \text{ с}} \approx \frac{12,5 \text{ м}}{2,01 \text{ с}} \approx 6,22 \text{ м/с}$

Ответ: шарик будет особенно сильно колебаться при скорости вагона примерно $6,22$ м/с.

2. Вода в ведре представляет собой колебательную систему, которая имеет свою собственную (естественную) частоту колебаний. Эта частота зависит от размеров ведра и уровня воды в нем.

Когда человек несет ведро, он совершает шаги, которые являются периодическим внешним воздействием на эту колебательную систему. В начале движения ритм шагов может быть неустойчивым, но через некоторое время человек, как правило, начинает идти с постоянной скоростью и ритмом. Таким образом, его шаги создают вынуждающую силу с определенной частотой.

Если частота шагов человека совпадает или становится очень близка к собственной частоте колебаний воды в ведре, возникает явление резонанса. При резонансе амплитуда колебаний воды резко возрастает даже при небольшой силе внешнего воздействия. В результате высота волн в ведре увеличивается, и вода начинает расплескиваться через край.

Ответ: вода расплёскивается из-за явления резонанса, которое наступает, когда частота шагов человека совпадает с собственной частотой колебаний воды в ведре, что приводит к резкому увеличению амплитуды этих колебаний.