Вариант 10, страница 80 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-11. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии - страница 80.

Условие.

1. Пловец массой $100 \text{ кг}$ способен оттолкнуться от края бассейна с силой $2,5 \text{ кН}$. Какую максимальную скорость можно приобрести при таком толчке за $0,1 \text{ с}$?

2. Тело массой $10 \text{ кг}$ свободно падает с высоты $20 \text{ м}$ из состояния покоя. На какой высоте кинетическая энергия в 3 раза больше потенциальной? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

1. Дано:

Масса пловца, $m = 100$ кг
Сила толчка, $F = 2,5$ кН
Время толчка, $\Delta t = 0,1$ с
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Переведем силу в систему СИ:
$F = 2,5 \text{ кН} = 2,5 \cdot 1000 \text{ Н} = 2500 \text{ Н}$

Найти:

Максимальная скорость, $\text{v}$ - ?

Решение:

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме. Согласно этому закону, импульс силы равен изменению импульса тела:
$F \cdot \Delta t = \Delta p$
Изменение импульса тела $\Delta p$ определяется как разность между его конечным импульсом $\text{p}$ и начальным $p_0$:
$\Delta p = p - p_0 = m \cdot v - m \cdot v_0$
Поскольку пловец отталкивается от края бассейна, его начальная скорость $v_0$ равна нулю. Следовательно, начальный импульс $p_0$ также равен нулю.
$p_0 = m \cdot v_0 = 100 \text{ кг} \cdot 0 \text{ м/с} = 0$
Тогда изменение импульса равно конечному импульсу:
$\Delta p = m \cdot v$
Приравниваем импульс силы и изменение импульса тела:
$F \cdot \Delta t = m \cdot v$
Из этого уравнения выражаем искомую максимальную скорость $\text{v}$:
$v = \frac{F \cdot \Delta t}{m}$
Подставим числовые значения в формулу:
$v = \frac{2500 \text{ Н} \cdot 0,1 \text{ с}}{100 \text{ кг}} = \frac{250}{100} \text{ м/с} = 2,5 \text{ м/с}$

Ответ: максимальная скорость, которую может приобрести пловец, составляет 2,5 м/с.

2. Дано:

Масса тела, $m = 10$ кг
Начальная высота, $H = 20$ м
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с
Соотношение энергий, $E_k = 3 \cdot E_p$

Найти:

Высота, $\text{h}$ - ?

Решение:

Так как по условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь, то для свободно падающего тела выполняется закон сохранения полной механической энергии. Это означает, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела остается постоянной в любой точке его траектории.
$E = E_k + E_p = \text{const}$
1. Определим полную механическую энергию тела в начальный момент времени (на высоте $H=20$ м).
Тело находится в состоянии покоя, поэтому его начальная скорость $v_0 = 0$, а начальная кинетическая энергия $E_{k0} = \frac{m v_0^2}{2} = 0$.
Начальная потенциальная энергия $E_{p0} = m g H$.
Полная энергия тела: $E = E_{k0} + E_{p0} = 0 + m g H = m g H$.
2. Запишем выражение для полной механической энергии на искомой высоте $\text{h}$.
На этой высоте тело будет иметь некоторую скорость $\text{v}$, поэтому его кинетическая энергия будет $E_k = \frac{m v^2}{2}$, а потенциальная энергия $E_p = m g h$.
Полная энергия на высоте $\text{h}$: $E = E_k + E_p$.
3. Применим закон сохранения энергии, приравняв полную энергию в начальной точке и в точке на высоте $\text{h}$:
$m g H = E_k + E_p$
4. Используем условие задачи: на высоте $\text{h}$ кинетическая энергия в 3 раза больше потенциальной, то есть $E_k = 3 \cdot E_p$.
Подставим это соотношение в уравнение закона сохранения энергии:
$m g H = (3 \cdot E_p) + E_p = 4 \cdot E_p$
5. Теперь подставим выражение для потенциальной энергии на высоте $\text{h}$ ($E_p = m g h$):
$m g H = 4 \cdot (m g h)$
Массу $\text{m}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$ можно сократить в обеих частях уравнения:
$H = 4h$
6. Выразим искомую высоту $\text{h}$:
$h = \frac{H}{4}$
Подставим значение начальной высоты $\text{H}$:
$h = \frac{20 \text{ м}}{4} = 5 \text{ м}$

Ответ: кинетическая энергия тела в 3 раза больше потенциальной на высоте 5 м.