Вариант 4, страница 81 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-12. Механические колебания - страница 81.

Условие.

1. За 2 мин маятник совершил 120 колебаний. Когда длину маятника увеличили на 74,7 см, то он за то же время совершил 60 колебаний. Найдите начальную и конечную длины маятника и ускорение свободного падения в этом месте.

2. Для чего все вибрирующие установки (моторы, генераторы и др.) ставятся на специальные амортизаторы?

Решение.

1. Дано:

$t = 2$ мин
$N_1 = 120$
$\Delta l = 74,7$ см
$N_2 = 60$

$t = 2 \cdot 60 = 120$ c
$\Delta l = 74,7 / 100 = 0,747$ м

Найти:

$l_1$ - ?
$l_2$ - ?
$\text{g}$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ - длина маятника, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Период также можно найти как отношение времени колебаний $\text{t}$ к числу полных колебаний $\text{N}$: $T = \frac{t}{N}$.

Найдем периоды колебаний маятника в первом и втором случаях:

$T_1 = \frac{t}{N_1} = \frac{120 \text{ c}}{120} = 1 \text{ c}$

$T_2 = \frac{t}{N_2} = \frac{120 \text{ c}}{60} = 2 \text{ c}$

Запишем формулы для периодов, обозначив начальную длину как $l_1$, а конечную как $l_2$:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Из условия известно, что конечная длина $l_2$ связана с начальной $l_1$ соотношением: $l_2 = l_1 + \Delta l$.

Чтобы найти связь между длинами, разделим уравнение для $T_2$ на уравнение для $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Подставим известные значения периодов:

$\frac{2 \text{ c}}{1 \text{ c}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4 = \frac{l_2}{l_1} \implies l_2 = 4l_1$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для длин:

$l_2 = 4l_1$
$l_2 = l_1 + \Delta l$

Приравняем правые части этих уравнений:

$4l_1 = l_1 + \Delta l$

$3l_1 = \Delta l$

Отсюда находим начальную длину маятника $l_1$:

$l_1 = \frac{\Delta l}{3} = \frac{0,747 \text{ м}}{3} = 0,249 \text{ м}$

Теперь найдем конечную длину $l_2$:

$l_2 = 4l_1 = 4 \cdot 0,249 \text{ м} = 0,996 \text{ м}$

Для нахождения ускорения свободного падения $\text{g}$ воспользуемся формулой для первого периода, выразив из нее $\text{g}$:

$T_1^2 = (2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}})^2 = 4\pi^2\frac{l_1}{g} \implies g = \frac{4\pi^2l_1}{T_1^2}$

Подставим численные значения:

$g = \frac{4\pi^2 \cdot 0,249 \text{ м}}{(1 \text{ с})^2} \approx 4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 0,249 \approx 9,83 \text{ м/с}^2$

Ответ: начальная длина маятника $l_1 = 0,249$ м (24,9 см), конечная длина $l_2 = 0,996$ м (99,6 см), ускорение свободного падения $g \approx 9,83 \text{ м/с}^2$.

2. Все вибрирующие установки, такие как моторы и генераторы, устанавливаются на специальные амортизаторы для изоляции и гашения (демпфирования) механических колебаний. Основная цель — предотвратить передачу вибраций от работающего механизма на его основание (фундамент, пол, раму) и окружающую среду.

Это необходимо по нескольким ключевым причинам. Во-первых, для предотвращения разрушительного явления резонанса. Если частота вибраций установки совпадет с собственной частотой колебаний опорной конструкции, амплитуда колебаний резко возрастет, что может привести к быстрому разрушению и установки, и ее основания. Во-вторых, для снижения уровня шума, так как вибрации, передающиеся на большие поверхности (пол, стены), создают сильный низкочастотный гул. В-третьих, для защиты самой установки и несущих конструкций от преждевременного износа и усталостного разрушения материалов, вызываемого постоянными вибрационными нагрузками.

Амортизаторы, изготовленные из упругих и вязких материалов (например, резины или систем пружин с гасителями), поглощают энергию колебаний, превращая ее в тепло, и смещают собственную частоту системы в безопасную область, далеко от рабочей частоты установки. Таким образом, они обеспечивают безопасную и тихую эксплуатацию оборудования.

Ответ: вибрирующие установки ставятся на специальные амортизаторы для того, чтобы изолировать их от опорных конструкций. Это позволяет предотвратить разрушение из-за резонанса, снизить уровень шума и защитить как саму установку, так и окружающие объекты от повреждений, вызываемых постоянной вибрацией.