Номер 817, страница 122 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Модели атомов. Поглощение и испускание света атомами. Радиоактивные превращения атомных ядер. Закон радиоактивного распада. Строение атома и атомного ядра. Использование энергии атомных ядер - номер 817, страница 122.

817. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за 8 дней. Найдите период полураспада.

Дано:

Время наблюдения, $t = 8$ дней

Уменьшение активности, $\frac{A_0}{A} = 4$

Перевод в СИ:

$t = 8 \text{ дней} = 8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 691200 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада, $T_{1/2}$ — ?

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает активность вещества $A$ в момент времени $t$ с его начальной активностью $A_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ следующей формулой:

$A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Из условия задачи известно, что за время $t = 8$ дней активность элемента уменьшилась в 4 раза. Это означает, что $A = \frac{A_0}{4}$. Подставим это значение в формулу закона распада:

$\frac{A_0}{4} = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Сократим обе части уравнения на $A_0$ (начальная активность не равна нулю):

$\frac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Чтобы решить это уравнение, представим дробь $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь уравнение принимает вид:

$2^{-2} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Умножим обе части на -1:

$2 = \frac{t}{T_{1/2}}$

Из этого соотношения выразим искомый период полураспада $T_{1/2}$:

$T_{1/2} = \frac{t}{2}$

Подставим в полученную формулу значение времени $t = 8$ дней:

$T_{1/2} = \frac{8 \text{ дней}}{2} = 4 \text{ дня}$

Задачу можно решить и логически. Период полураспада – это время, за которое активность уменьшается в 2 раза. Уменьшение активности в 4 раза означает, что прошло два периода полураспада, так как $4 = 2 \cdot 2$. Если два периода полураспада заняли 8 дней, то один период полураспада составляет $8 \text{ дней} / 2 = 4 \text{ дня}$.

Ответ: 4 дня.