Страница 127 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют амплитудой колебаний; периодом колебаний; частотой колебаний? В каких единицах измеряется каждая из этих величин?

1.Амплитуда колебаний — это наибольшее (максимальное) смещение колеблющегося тела или точки от положения равновесия. Амплитуда обозначается буквой $A$ и характеризует "размах" колебаний. В Международной системе единиц (СИ) амплитуда механических колебаний измеряется в метрах (м).

Период колебаний — это промежуток времени, за который совершается одно полное колебание. Иначе говоря, это время, через которое параметры движения (координата, скорость, ускорение) полностью повторяются. Период обозначается буквой $T$. В СИ период измеряется в секундах (с).

Частота колебаний — это физическая величина, равная числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота обозначается греческой буквой $\nu$ (ню) или латинской $f$. Единицей измерения частоты в СИ является герц (Гц), названный в честь немецкого физика Генриха Герца. Один герц равен одному колебанию в секунду: $1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$.

Ответ: Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия, измеряется в метрах (м). Период — это время одного полного колебания, измеряется в секундах (с). Частота — это число колебаний в единицу времени, измеряется в герцах (Гц).

2. Период и частота колебаний являются взаимосвязанными величинами. Эта связь — обратно пропорциональная. Чем чаще происходят колебания (больше частота), тем меньше времени уходит на каждое отдельное колебание (меньше период), и наоборот.

Математически эта связь выражается следующими формулами:

Период $T$ можно найти, разделив единицу на частоту $\nu$: $T = \frac{1}{\nu}$

Соответственно, частоту $\nu$ можно найти, разделив единицу на период $T$: $\nu = \frac{1}{T}$

Ответ: Период и частота колебаний — это взаимно обратные величины. Их связь описывается формулами $T = \frac{1}{\nu}$ и $\nu = \frac{1}{T}$.

2. Как связаны между собой период и частота колебаний?

Решение

Период и частота колебаний — это две основные характеристики любого колебательного процесса, которые тесно взаимосвязаны.

Период колебаний (обозначается буквой $T$) — это наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание. Иными словами, это время одного цикла. В Международной системе единиц (СИ) период измеряется в секундах (с).

Частота колебаний (обозначается греческой буквой $\nu$ (ню) или латинской $f$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. В системе СИ частота измеряется в герцах (Гц). Один герц равен одному колебанию в секунду ($1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$).

Связь между периодом и частотой является обратно пропорциональной. Это означает, что чем больше период (дольше длится одно колебание), тем меньше частота (меньше колебаний происходит в секунду), и наоборот.

Математически эта зависимость выражается следующими формулами:

Частота равна величине, обратной периоду: $ \nu = \frac{1}{T} $

Соответственно, период равен величине, обратной частоте: $ T = \frac{1}{\nu} $

Например, если период колебаний математического маятника равен $2$ секунды, то его частота составит $\nu = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$. Это значит, что за одну секунду он совершает половину полного колебания.

Ответ: Период ($T$) и частота ($\nu$) колебаний являются взаимно обратными величинами. Их связь описывается формулами $T = \frac{1}{\nu}$ и $\nu = \frac{1}{T}$.

3. Какие колебания называют собственными?

3. Какие колебания называют собственными?

Собственные (или свободные) колебания – это колебания, которые возникают в колебательной системе после того, как она была выведена из положения устойчивого равновесия и предоставлена самой себе. Такие колебания происходят под действием только внутренних сил системы (например, силы упругости или силы тяжести) и не поддерживаются никакими внешними периодическими силами.

Основные характеристики собственных колебаний:

• Причина возникновения: Начальное отклонение от положения равновесия или сообщение начальной скорости. После этого внешнее воздействие прекращается.
• Действующие силы: Колебания поддерживаются только внутренними возвращающими силами системы, которые всегда направлены к положению равновесия.
• Частота колебаний: Собственные колебания происходят на определённой, характерной для данной системы частоте, которая называется собственной частотой. Эта частота ($ν_0$) или циклическая частота ($ω_0$) определяется исключительно параметрами самой системы. Например:
  • Для пружинного маятника (груз массой $m$ на пружине жёсткостью $k$): $ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$
  • Для математического маятника (длиной $l$ в поле тяжести с ускорением свободного падения $g$): $ω_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$
• Затухание: В реальных условиях всегда существуют силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха), которые приводят к постепенному уменьшению амплитуды собственных колебаний. Такие колебания называют затухающими. В идеализированной модели, где силами сопротивления пренебрегают, собственные колебания считаются незатухающими и продолжались бы бесконечно долго с постоянной амплитудой.

Примерами собственных колебаний могут служить:

• колебания маятника часов после одного толчка;
• колебания груза на пружине после его растяжения и отпускания;
• колебания струны гитары после того, как её щипнули.

Собственные колебания следует отличать от вынужденных колебаний, которые происходят под действием внешней, периодически изменяющейся силы.

Ответ: Собственными (свободными) колебаниями называют колебания, которые совершает система под действием своих внутренних сил после того, как она была выведена из положения равновесия. Частота таких колебаний называется собственной частотой и зависит только от свойств самой системы.

4. Что называют собственной частотой колебательной системы?

3. Какие колебания называют собственными?

Собственными (или свободными) колебаниями называют колебания, которые совершает система под действием своих внутренних сил после того, как она была выведена из положения устойчивого равновесия. Эти колебания происходят без воздействия внешних периодических сил, которые бы поддерживали их.

Когда систему, способную совершать колебания (например, маятник или груз на пружине), отклоняют от положения равновесия и отпускают, она начинает двигаться, проходя через положение равновесия и отклоняясь в противоположную сторону. Это движение и есть собственные колебания. Движение происходит за счет того, что при отклонении возникает внутренняя возвращающая сила (например, сила упругости пружины или составляющая силы тяжести у маятника), которая стремится вернуть систему в положение равновесия.

В реальных условиях всегда присутствует трение или сопротивление среды, поэтому собственные колебания являются затухающими — их амплитуда со временем уменьшается до нуля. В идеализированной модели, где силы сопротивления отсутствуют, собственные колебания были бы незатухающими и продолжались бы бесконечно долго с постоянной амплитудой.

Примерами систем, совершающих собственные колебания, являются: математический маятник, отклоненный от вертикального положения; груз, подвешенный на пружине, после того как его оттянули вниз и отпустили; качели после одного толчка; струна музыкального инструмента после того, как ее защипнули.

Ответ: Собственными колебаниями называют колебания, которые происходят в системе только за счет действия внутренних сил после однократного выведения ее из состояния равновесия.

4. Что называют собственной частотой колебательной системы?

Собственной частотой колебательной системы называют частоту, с которой происходят собственные (свободные) колебания в этой системе. Это одна из важнейших характеристик любой колебательной системы, так как она не зависит от того, как были вызваны колебания.

Собственная частота определяется исключительно внутренними параметрами самой системы, такими как масса, жесткость, размеры, и не зависит от начальных условий (например, от величины начального отклонения или начальной скорости) или от внешних сил.

Различают циклическую (круговую) частоту $\omega_0$ (измеряется в радианах в секунду) и линейную частоту $\nu_0$ (измеряется в герцах). Они связаны соотношением $\omega_0 = 2\pi\nu_0$.

Например, для пружинного маятника, состоящего из груза массой $m$ и пружины жесткостью $k$, собственная циклическая частота определяется формулой:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

А собственная линейная частота:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Для математического маятника длиной $l$ в поле тяжести с ускорением свободного падения $g$ собственная циклическая частота (при малых углах отклонения) равна:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Соответственно, линейная частота:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Знание собственной частоты очень важно в технике и физике, так как при совпадении частоты внешней вынуждающей силы с собственной частотой системы наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний может резко возрасти.

Ответ: Собственной частотой колебательной системы называют частоту свободных колебаний, которая определяется только внутренними свойствами самой системы (например, массой и жесткостью для пружинного маятника или длиной для математического маятника).

1. На рисунке 80 изображены пары колеблющихся маятников. В каких случаях два маятника колеблются: в одинаковых фазах по отношению друг к другу; в противоположных фазах?

Рис. 80

Фаза колебаний определяет состояние колебательной системы (положение и скорость) в данный момент времени. Два маятника колеблются в одинаковых фазах, если в любой момент времени их отклонения от положения равновесия и направления скоростей совпадают. Разность фаз таких колебаний равна нулю или кратна $2\pi$. Два маятника колеблются в противофазе, если в любой момент времени их отклонения от положения равновесия равны по модулю, но противоположны по знаку. Разность фаз таких колебаний равна $\pi$ или нечетному числу $\pi$.

в одинаковых фазах по отношению друг к другу

Колебания в одинаковых фазах (синфазные) означают, что маятники одновременно проходят одни и те же положения, двигаясь в одном и том же направлении.

В случае а) оба маятника отклонены влево на одинаковый угол $\alpha$ и движутся вправо, к положению равновесия. Их состояния (положение и скорость) полностью совпадают. Следовательно, они колеблются в одинаковых фазах.

В случае е) оба маятника отклонены вправо на одинаковый угол $\alpha$ и движутся влево, к положению равновесия. Их состояния также полностью совпадают. Следовательно, они колеблются в одинаковых фазах.

В остальных случаях такого совпадения положений и скоростей нет.

Ответ: а), е).

в противоположных фазах?

Колебания в противоположных фазах (в противофазе) означают, что маятники имеют противоположные состояния. Например, когда один маятник находится в крайнем левом положении, другой — в крайнем правом. Когда они проходят положение равновесия, их скорости направлены в противоположные стороны.

В случае в) оба маятника находятся в положении равновесия, но их скорости направлены в противоположные стороны. Первый маятник движется влево, а второй — вправо. Это соответствует колебаниям в противофазе.

В случае г) ситуация аналогична случаю в): оба маятника в положении равновесия, но скорости направлены в противоположные стороны (первый — вправо, второй — влево). Это также колебания в противофазе.

В остальных случаях нет соответствия для противофазных колебаний. Например, в случае б) маятники находятся по разные стороны от положения равновесия, но их скорости направлены в одну сторону, что не соответствует ни синфазным, ни противофазным колебаниям.

Ответ: в), г).

2. Частота колебаний стометрового железнодорожного моста равна $2 \text{ Гц}$. Определите период этих колебаний.

Дано:

Частота колебаний $ν$ = 2 Гц

Длина моста $L$ = 100 м

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Период колебаний $T$

Решение:

Период колебаний ($T$) и частота колебаний ($ν$) — это физические величины, связанные обратной зависимостью. Период — это время, за которое совершается одно полное колебание, а частота — это количество полных колебаний, совершаемых за единицу времени (1 секунду).

Связь между периодом и частотой выражается следующей формулой:

$T = \frac{1}{ν}$

В условии задачи указана длина моста (100 м), однако эта информация является избыточной и не требуется для определения периода колебаний, так как у нас есть значение частоты.

Подставим известное значение частоты в формулу, чтобы найти период:

$T = \frac{1}{2 \text{ Гц}} = 0,5 \text{ с}$

Таким образом, период колебаний железнодорожного моста равен 0,5 секунды.

Ответ: 0,5 с.

3. Период вертикальных колебаний железнодорожного вагона равен 0,5 с. Определите частоту колебаний вагона.

Дано:

Период вертикальных колебаний вагона $T = 0,5 \text{ с}$.

Данное значение представлено в системе СИ.

Найти:

Частоту колебаний вагона $ν$.

Решение:

Частота колебаний ($ν$) и период колебаний ($T$) являются взаимно обратными величинами. Связь между ними выражается следующей формулой:

$ν = \frac{1}{T}$

где $ν$ — частота в герцах (Гц), а $T$ — период в секундах (с).

Подставим в формулу заданное значение периода:

$ν = \frac{1}{0,5 \text{ с}}$

Проведем вычисление:

$ν = 2 \text{ Гц}$

Таким образом, частота вертикальных колебаний железнодорожного вагона составляет 2 герца.

Ответ: 2 Гц.

4. Маятник совершает 30 колебаний в минуту. Определите период и частоту колебаний.

Дано:

Число колебаний $N = 30$

Время $t = 1 \text{ мин}$

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Период $T$ - ?

Частоту $\nu$ - ?

Решение:

Период колебаний ($T$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Для его нахождения необходимо общее время колебаний ($t$) разделить на число совершённых за это время колебаний ($N$).

Формула для расчёта периода:

$T = \frac{t}{N}$

Подставим числовые значения в формулу:

$T = \frac{60 \text{ с}}{30} = 2 \text{ с}$

Частота колебаний ($\nu$) — это число колебаний, совершаемых за единицу времени. Для её нахождения необходимо число колебаний ($N$) разделить на общее время ($t$).

Формула для расчёта частоты:

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим числовые значения в формулу:

$\nu = \frac{30}{60 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Также частоту можно найти как величину, обратную периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Результаты совпадают, следовательно, расчёты верны.

Ответ: период колебаний маятника $T = 2 \text{ с}$, частота колебаний $\nu = 0.5 \text{ Гц}$.

5. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 3 см. Какой путь от положения равновесия пройдёт груз за время, равное $\frac{1}{4}T; \frac{1}{2}T; \frac{3}{4}T; T$?

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 3 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$A = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Путь $S_1$ за время $t_1 = \frac{1}{4}T$

Путь $S_2$ за время $t_2 = \frac{1}{2}T$

Путь $S_3$ за время $t_3 = \frac{3}{4}T$

Путь $S_4$ за время $t_4 = T$

Решение:

Путь — это длина траектории, пройденной телом. Для гармонических колебаний, начинающихся из положения равновесия, путь за определенные доли периода можно рассчитать, зная амплитуду $A$. Амплитуда — это максимальное отклонение тела от положения равновесия.

За один полный период ($T$) тело проходит путь, равный четырем амплитудам ($4A$), так как оно движется от положения равновесия до одного крайнего положения (путь $A$), обратно к равновесию (еще $A$), до другого крайнего положения (еще $A$) и снова возвращается в положение равновесия (еще $A$). Каждый из этих четырех этапов занимает время, равное четверти периода ($\frac{1}{4}T$).

За время $\frac{1}{4}T$

За четверть периода груз, двигаясь из положения равновесия, достигнет точки максимального отклонения. Пройденный им путь будет равен одной амплитуде.

$S_1 = A$

$S_1 = 3 \text{ см}$

Ответ: 3 см.

За время $\frac{1}{2}T$

За половину периода груз переместится из положения равновесия до точки максимального отклонения и вернется обратно в положение равновесия. Пройденный путь будет равен двум амплитудам.

$S_2 = A + A = 2A$

$S_2 = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Ответ: 6 см.

За время $\frac{3}{4}T$

За три четверти периода груз пройдет путь от положения равновесия до одного крайнего положения, вернется к равновесию и достигнет другого крайнего положения. Общий путь будет равен трем амплитудам.

$S_3 = A + A + A = 3A$

$S_3 = 3 \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: 9 см.

За время $T$

За один полный период груз совершит одно полное колебание и вернется в исходное положение равновесия. Путь, пройденный за это время, равен четырем амплитудам.

$S_4 = A + A + A + A = 4A$

$S_4 = 4 \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см.

6. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 10 см, частота 0,5 Гц. Какой путь пройдёт груз за 2 с?

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 10 \text{ см}$

Частота колебаний, $f = 0,5 \text{ Гц}$

Время, $t = 2 \text{ с}$

$A = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Путь, пройденный грузом, $S - ?$

Решение:

За одно полное колебание груз проходит путь, равный четырем амплитудам ($4A$). Это происходит, когда груз движется от положения равновесия до одного крайнего положения (проходит путь $A$), возвращается в положение равновесия (еще $A$), движется до другого крайнего положения (еще $A$) и снова возвращается в положение равновесия (еще $A$).

Чтобы найти общий путь $S$, нужно определить, сколько полных колебаний $N$ совершит груз за заданное время $t$. Количество колебаний можно найти как произведение частоты на время:

$N = f \cdot t$

Подставим известные значения в формулу:

$N = 0,5 \text{ Гц} \cdot 2 \text{ с} = 1$

Таким образом, за 2 секунды груз совершит ровно одно полное колебание.

Теперь вычислим общий путь $S$, который прошел груз. Он равен произведению количества колебаний $N$ на путь, проходимый за одно колебание ($4A$):

$S = N \cdot 4A$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$S = 1 \cdot 4 \cdot 0,1 \text{ м} = 0,4 \text{ м}$

Можно также выразить ответ в сантиметрах: $0,4 \text{ м} = 40 \text{ см}$.

Ответ: путь, который пройдёт груз за 2 с, равен 0,4 м.