Номер 6, страница 75 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 16. § 16. Ускорение свободного падения на земле и других небесных телах. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 6, страница 75.

6*. С Земли стартует космическая ракета с космонавтом на борту. На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести, действующая на космонавта, будет в 4 раза меньше, чем перед стартом; в 9 раз меньше, чем перед стартом?

Дано:

Уменьшение силы тяжести в $n_1 = 4$ раза.

Уменьшение силы тяжести в $n_2 = 9$ раз.

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$.

Перевод в систему СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Найти:

$h_1$ — расстояние от поверхности Земли, где сила тяжести меньше в 4 раза.

$h_2$ — расстояние от поверхности Земли, где сила тяжести меньше в 9 раз.

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело (космонавта), определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса космонавта, $R$ — расстояние от центра Земли до космонавта.

Перед стартом, на поверхности Земли, расстояние до центра Земли равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяжести $F_1$ на поверхности равна:

$F_1 = G \frac{M_З \cdot m_к}{R_З^2}$

На высоте $h$ от поверхности Земли расстояние до центра Земли будет $R = R_З + h$. Сила тяжести $F_2$ на этой высоте будет равна:

$F_2 = G \frac{M_З \cdot m_к}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, сила тяжести на высоте $h$ ($F_2$) в $n$ раз меньше, чем на поверхности ($F_1$). Это можно записать как отношение:

$\frac{F_1}{F_2} = n$

Подставим выражения для сил в это отношение:

$\frac{G \frac{M_З \cdot m_к}{R_З^2}}{G \frac{M_З \cdot m_к}{(R_З + h)^2}} = n$

После сокращения одинаковых множителей ($G, M_З, m_к$) получаем:

$\frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = n$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$:

$(R_З + h)^2 = n \cdot R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (расстояния могут быть только положительными):

$R_З + h = \sqrt{n} \cdot R_З$

$h = \sqrt{n} \cdot R_З - R_З = R_З(\sqrt{n} - 1)$

Мы получили общую формулу для вычисления высоты $h$ при уменьшении силы тяжести в $n$ раз. Теперь применим ее к двум случаям из условия задачи.

На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести... будет в 4 раза меньше, чем перед стартом

В этом случае коэффициент ослабления силы тяжести $n_1 = 4$.

Подставим это значение в нашу формулу для высоты $h_1$:

$h_1 = R_З(\sqrt{4} - 1) = R_З(2 - 1) = R_З$

Таким образом, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 4 раза, равна радиусу Земли.

$h_1 \approx 6400 \text{ км}$

Ответ: сила тяжести будет в 4 раза меньше на расстоянии от поверхности Земли, равном одному радиусу Земли, что составляет приблизительно 6400 км.

На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести... будет в 9 раз меньше, чем перед стартом

В этом случае коэффициент ослабления силы тяжести $n_2 = 9$.

Подставим это значение в формулу для высоты $h_2$:

$h_2 = R_З(\sqrt{9} - 1) = R_З(3 - 1) = 2R_З$

Следовательно, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 9 раз, равна двум радиусам Земли.

$h_2 \approx 2 \cdot 6400 \text{ км} = 12800 \text{ км}$

Ответ: сила тяжести будет в 9 раз меньше на расстоянии от поверхности Земли, равном двум радиусам Земли, что составляет приблизительно 12800 км.