Номер 4, страница 75 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 16. § 16. Ускорение свободного падения на земле и других небесных телах. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 4, страница 75.

4. Ракета пролетает на расстоянии, равном 5000 км от поверхности Земли. Можно ли рассчитывать действующую на космическую ракету силу тяжести, принимая g = 9,8 м/с²? (Радиус Земли приблизительно равен 6400 км.) Ответ поясните.

Дано:

Высота ракеты над поверхностью Земли $h = 5000 \text{ км}$

Радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g_0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Переведем данные в систему СИ:

$h = 5000 \cdot 10^3 \text{ м} = 5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Можно ли для расчета силы тяжести на высоте $h$ использовать значение $g_0$? Пояснить ответ.

Решение:

Значение ускорения свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ справедливо только для тел, находящихся на поверхности Земли или на небольших, по сравнению с ее радиусом, высотах.

Ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли согласно закону всемирного тяготения. Общая формула для ускорения свободного падения на расстоянии $r$ от центра планеты массой $M$ имеет вид:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, и ускорение свободного падения равно $g_0$:

$g_0 = G \frac{M}{R_З^2} \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до центра Земли составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет равно:

$g_h = G \frac{M}{(R_З + h)^2}$

Чтобы сравнить $g_h$ и $g_0$, найдем их отношение:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M}{(R_З + h)^2}}{G \frac{M}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = (\frac{R_З}{R_З + h})^2$

Подставим числовые значения (можно использовать значения в километрах, так как они находятся в отношении и единицы измерения сократятся):

$R_З = 6400 \text{ км}$

$h = 5000 \text{ км}$

$R_З + h = 6400 \text{ км} + 5000 \text{ км} = 11400 \text{ км}$

$\frac{g_h}{g_0} = (\frac{6400 \text{ км}}{11400 \text{ км}})^2 = (\frac{64}{114})^2 \approx (0,5614)^2 \approx 0,315$

Таким образом, ускорение свободного падения на высоте 5000 км составляет:

$g_h = g_0 \cdot 0,315 \approx 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,315 \approx 3,09 \text{ м/с}^2$

Полученное значение $g_h \approx 3,09 \text{ м/с}^2$ существенно отличается от значения $g_0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$. Разница составляет более чем в 3 раза.

Использование значения $g=9,8 \text{ м/с}^2$ для расчета силы тяжести на такой высоте приведет к грубой ошибке, завысив результат более чем в три раза.

Ответ: Нет, рассчитывать силу тяжести, действующую на ракету на высоте 5000 км от поверхности Земли, принимая $g = 9,8 \text{ м/с}^2$, нельзя. Это значение справедливо лишь у поверхности планеты. На высоте 5000 км, которая сопоставима с радиусом Земли (6400 км), ускорение свободного падения значительно уменьшается. Расчет показывает, что на данной высоте оно составляет примерно $3,09 \text{ м/с}^2$, что более чем в три раза меньше, чем у поверхности. Поэтому использование значения $9,8 \text{ м/с}^2$ приведет к неверному, сильно завышенному результату.