Страница 75 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Верно ли, что притяжение тел к Земле является одним из примеров всемирного тяготения?

Да, утверждение о том, что притяжение тел к Земле является одним из примеров всемирного тяготения, абсолютно верно.

Закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном, гласит, что любые два тела во Вселенной, обладающие массой, притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Математически это выражается формулой:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $F$ – сила притяжения, $m_1$ и $m_2$ – массы тел, $r$ – расстояние между центрами масс тел, а $G$ – гравитационная постоянная.

Сила тяжести, действующая на любое тело вблизи поверхности Земли, является частным случаем этого закона. В этой ситуации одним телом ($m_1$) является планета Земля с её огромной массой ($M_{Земли}$), а вторым телом ($m_2$) – рассматриваемый объект (например, яблоко, человек, спутник) с массой $m$. Расстояние $r$ в этом случае – это расстояние от центра Земли до центра объекта.

Таким образом, притяжение тел к Земле – это не какое-то отдельное явление, а конкретное проявление универсального закона гравитации, действующего между Землёй и телами, находящимися в её гравитационном поле.

Ответ: Да, верно. Притяжение тел к Земле – это частный случай проявления закона всемирного тяготения.

2. Сила тяжести, действующая на тело, изменяется при его удалении от поверхности Земли. Она уменьшается. Чтобы понять, как именно это происходит, обратимся к закону всемирного тяготения.

Решение

Сила тяжести ($F_{тяж}$) – это гравитационная сила, с которой Земля притягивает тело. Она определяется по формуле:

$F_{тяж} = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса тела, а $r$ – расстояние от центра Земли до тела.

Когда тело находится на поверхности Земли, расстояние $r$ примерно равно радиусу Земли $R_{Земли}$.

При удалении тела от поверхности Земли на высоту $h$, новое расстояние до центра Земли становится равным $r = R_{Земли} + h$.

Подставим это новое расстояние в формулу силы тяжести:

$F_{тяж(h)} = G \frac{M \cdot m}{(R_{Земли} + h)^2}$

Из формулы видно, что сила тяжести $F_{тяж}$ обратно пропорциональна квадрату расстояния ($r^2$) от центра Земли. Это означает, что с увеличением расстояния (то есть при удалении от Земли) знаменатель дроби $(R_{Земли} + h)^2$ увеличивается. Следовательно, значение всей дроби, а значит и сила тяжести, уменьшается.

Например, если поднять тело на высоту, равную радиусу Земли ($h = R_{Земли}$), то расстояние до центра станет $r = R_{Земли} + R_{Земли} = 2R_{Земли}$. Сила тяжести на этой высоте будет:

$F_{тяж(h=R)} = G \frac{M \cdot m}{(2R_{Земли})^2} = G \frac{M \cdot m}{4R_{Земли}^2} = \frac{1}{4} F_{тяж(поверхность)}$

То есть сила тяжести уменьшится в 4 раза.

Таким образом, при удалении тела от поверхности Земли сила тяжести, действующая на него, уменьшается.

Ответ: При удалении тела от поверхности Земли сила тяжести, действующая на него, уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.

2. Как меняется сила тяжести, действующая на тело, при его удалении от поверхности Земли?

Да, это утверждение верно. Закон всемирного тяготения гласит, что все тела во Вселенной, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Сила притяжения между любым телом и планетой Земля, которую мы называем силой тяжести, является частным случаем этого фундаментального взаимодействия. Таким образом, притяжение тел к Земле — это одно из многочисленных проявлений всемирного тяготения.

Ответ: Да, верно.

2.Сила тяжести, действующая на тело, уменьшается при его удалении от поверхности Земли. Это следует из закона всемирного тяготения, который описывается формулой: $F = G \frac{M_{\text{З}} \cdot m}{r^2}$.Здесь $F$ — сила тяжести, $G$ — гравитационная постоянная, $M_{\text{З}}$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $r$ — расстояние от центра Земли до тела.При удалении тела от поверхности Земли расстояние $r$ увеличивается. Так как величина силы $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния ($F \propto \frac{1}{r^2}$), увеличение расстояния $r$ приводит к уменьшению силы тяжести.

Ответ: При удалении от поверхности Земли сила тяжести, действующая на тело, уменьшается.

3.Вопрос в предоставленном изображении является неполным. Он обрывается на словах "В каком слу-". Для предоставления ответа необходима полная формулировка вопроса.

Ответ: Невозможно дать ответ, так как вопрос сформулирован не полностью.

3. В каком случае сила тяжести, действующая на одно и то же тело, будет больше: если это тело находится в экваториальной области земного шара или на одном из полюсов?

В каком случае сила тяжести, действующая на одно и то же тело, будет больше: если это тело находится в экваториальной области земного шара или на одном из полюсов?

Решение

Сила тяжести, действующая на тело у поверхности Земли, определяется двумя основными факторами: силой гравитационного притяжения к планете и центробежной силой, возникающей из-за суточного вращения Земли.

1. Форма Земли. Наша планета не является идеальной сферой, а представляет собой геоид, сплюснутый у полюсов и расширенный у экватора. Это означает, что полярный радиус Земли ($R_п$) меньше экваториального ($R_э$). Сила всемирного тяготения описывается формулой $F_g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $R$ — расстояние от тела до центра Земли. Поскольку на полюсе тело находится ближе к центру Земли ($R_п < R_э$), знаменатель в формуле меньше, и, следовательно, сила гравитационного притяжения $F_g$ на полюсе больше, чем на экваторе.

2. Вращение Земли. Земля вращается вокруг своей оси, что создает центробежную силу, направленную перпендикулярно оси вращения и ослабляющую силу тяжести. На экваторе эта сила максимальна, так как тело находится на наибольшем удалении от оси вращения. На полюсах тело находится непосредственно на оси вращения, поэтому центробежная сила там равна нулю.

Таким образом, на полюсе на тело действует максимальная сила гравитационного притяжения, которая не ослабляется центробежной силой. На экваторе же сила гравитационного притяжения изначально меньше, и она дополнительно уменьшается за счет максимального действия центробежной силы. В результате сила тяжести на полюсе оказывается больше.

Ответ: Сила тяжести, действующая на одно и то же тело, будет больше на одном из полюсов.

4. Почему ускорение свободного падения в данных точках различно?

Решение

Ускорение свободного падения ($g$) — это ускорение, которое приобретает тело под действием силы тяжести. Оно связано с силой тяжести ($P$) и массой тела ($m$) формулой $P = mg$, из которой следует, что $g = P/m$. Поскольку масса тела является постоянной величиной, ускорение свободного падения прямо пропорционально силе тяжести. Следовательно, оно будет больше там, где больше сила тяжести, то есть на полюсах.

Причины различия ускорения свободного падения на полюсе и экваторе те же, что и для силы тяжести:

1. Сплюснутость Земли. Гравитационная составляющая ускорения свободного падения определяется выражением $g_{грав} = G \frac{M}{R^2}$. Так как полярный радиус $R_п$ меньше экваториального $R_э$, значение $g_{грав}$ на полюсе больше.

2. Суточное вращение Земли. Центробежное ускорение $a_ц$, вызванное вращением планеты, направлено против гравитационного и уменьшает итоговое значение $g$. На экваторе центробежное ускорение максимально, а на полюсах равно нулю. Поэтому результирующее ускорение свободного падения на экваторе уменьшается в большей степени.

Вследствие совместного действия этих двух факторов ускорение свободного падения на полюсах (приблизительно $g_п \approx 9,832$ м/с²) оказывается больше, чем на экваторе (приблизительно $g_э \approx 9,780$ м/с²).

Ответ: Ускорение свободного падения различно из-за двух основных причин: 1) несферической (сплюснутой) формы Земли, из-за которой расстояние до ее центра на полюсах меньше, чем на экваторе; 2) суточного вращения Земли, создающего центробежную силу, которая ослабляет гравитационное притяжение (этот эффект максимален на экваторе и отсутствует на полюсах).

4. Почему ускорение свободного падения в данной точке земного шара одинаково для тел любой массы?

Почему ускорение свободного падения в данной точке земного шара одинаково для тел любой массы?

Решение

Ускорение свободного падения в данной точке земного шара одинаково для тел любой массы из-за фундаментального соотношения между силой тяжести (гравитационной силой) и инерцией (вторым законом Ньютона).

Рассмотрим тело массой $m$, находящееся вблизи поверхности Земли. На него действуют две силы, которые мы можем приравнять.

С одной стороны, это сила всемирного тяготения, которая описывается законом всемирного тяготения Ньютона:

$F_{тяж} = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

В этой формуле $G$ — это гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $R$ — расстояние от центра Земли до тела (для объектов у поверхности оно практически равно радиусу Земли). Эта формула показывает, что сила тяжести прямо пропорциональна массе тела.

С другой стороны, согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В случае свободного падения (когда мы пренебрегаем сопротивлением воздуха), единственной силой является сила тяжести, а ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается буквой $g$:

$F = m \cdot a \implies F_{тяж} = m \cdot g$

Здесь масса $m$ характеризует инертность тела — его свойство сопротивляться изменению скорости. Эта формула показывает, что для придания телу ускорения $g$ требуется сила, также прямо пропорциональная его массе.

Поскольку обе формулы описывают одну и ту же силу — силу тяжести, действующую на тело, — мы можем их приравнять:

$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Теперь мы видим, что масса тела $m$ находится в обеих частях уравнения. Мы можем разделить обе части на $m$ (сократить массу):

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из полученной формулы видно, что ускорение свободного падения $g$ зависит только от гравитационной постоянной $G$, массы планеты $M$ и расстояния до ее центра $R$. Масса падающего тела $m$ в итоговую формулу не входит. Это означает, что хотя на более массивное тело действует большая сила тяжести, его инертность (сопротивление ускорению) также больше ровно во столько же раз. Эти два эффекта точно компенсируют друг друга, в результате чего все тела в вакууме падают с одинаковым ускорением.

Ответ: Ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела, так как и сила тяжести, действующая на тело, и его инертность прямо пропорциональны массе. При выводе формулы для ускорения масса тела сокращается, поэтому в данной точке гравитационного поля все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением.

(Вопрос №5 на изображении представлен не полностью, поэтому дать на него ответ невозможно.)

5. Что вы знаете об ускорении свободного падения на Луне?

Ускорение свободного падения на Луне — это ускорение, которое получает тело, находящееся вблизи её поверхности, под действием только силы лунного притяжения (при условии отсутствия других сил, так как атмосфера у Луны практически отсутствует). Оно имеет несколько ключевых особенностей по сравнению с земным.

Во-первых, ускорение свободного падения на Луне значительно меньше, чем на Земле. Его среднее значение составляет $g_Л \approx 1,62 \text{ м/с}^2$. На Земле же среднее значение ускорения свободного падения равно $g_З \approx 9,8 \text{ м/с}^2$. Таким образом, лунное ускорение свободного падения примерно в 6 раз меньше земного ($9,8 \text{ м/с}^2 / 1,62 \text{ м/с}^2 \approx 6,05$).

Во-вторых, причина такого различия кроется в массе и радиусе Луны. Ускорение свободного падения на поверхности сферического небесного тела определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения: $g = G\frac{M}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, а $R$ — его радиус. Луна имеет массу ($M_Л \approx 7,35 \cdot 10^{22} \text{ кг}$) примерно в 81 раз меньше массы Земли и радиус ($R_Л \approx 1737 \text{ км}$) примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Хотя меньший радиус и увеличивает значение $g$ (так как $R^2$ в знаменателе), значительно меньшая масса оказывает доминирующее влияние, что в итоге и приводит к малому значению ускорения свободного падения.

В-третьих, важным следствием низкого ускорения свободного падения является то, что вес тел на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. Вес — это сила, с которой тело действует на опору или подвес, и он рассчитывается по формуле $P = mg$. Так как масса ($m$) тела — величина постоянная, не зависящая от местоположения, то его вес прямо пропорционален ускорению свободного падения $g$. Именно поэтому астронавты на Луне могли совершать высокие и длинные прыжки и с легкостью переносить тяжелое оборудование.

Ответ: Ускорение свободного падения на Луне составляет примерно $1,62 \text{ м/с}^2$, что приблизительно в 6 раз меньше, чем на Земле ($9,8 \text{ м/с}^2$). Это обусловлено тем, что масса и радиус Луны значительно меньше массы и радиуса Земли. Как следствие, вес любого тела на Луне примерно в 6 раз меньше его веса на Земле, а все тела падают на ее поверхность значительно медленнее.

1. Чему равна сила тяжести, действующая на тело массой 2,5 кг; 600 г; 1,2 т; 50 т? (Принять g = 10 м/с².)

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления силы тяжести:

$F_{тяж} = m \cdot g$

где $F_{тяж}$ – сила тяжести, $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения. По условию $g = 10$ м/с².

Рассчитаем силу тяжести для каждой указанной массы, предварительно переведя массу в единицы системы СИ (килограммы).

2,5 кг

Дано:

$m_1 = 2,5$ кг

$g = 10$ м/с²

Найти:

$F_1$ - ?

Решение:

Масса уже дана в системе СИ. Подставим значения в формулу:

$F_1 = m_1 \cdot g = 2,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 25 \text{ Н}$

Ответ: 25 Н.

600 г

Дано:

$m_2 = 600 \text{ г} = 0,6 \text{ кг}$

$g = 10$ м/с²

Найти:

$F_2$ - ?

Решение:

Переведем массу из граммов в килограммы: $600 \text{ г} = 600 / 1000 \text{ кг} = 0,6 \text{ кг}$.

$F_2 = m_2 \cdot g = 0,6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 6 \text{ Н}$

Ответ: 6 Н.

1,2 т

Дано:

$m_3 = 1,2 \text{ т} = 1200 \text{ кг}$

$g = 10$ м/с²

Найти:

$F_3$ - ?

Решение:

Переведем массу из тонн в килограммы: $1,2 \text{ т} = 1,2 \cdot 1000 \text{ кг} = 1200 \text{ кг}$.

$F_3 = m_3 \cdot g = 1200 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 12000 \text{ Н}$

Ответ: 12000 Н (или 12 кН).

50 т

Дано:

$m_4 = 50 \text{ т} = 50000 \text{ кг}$

$g = 10$ м/с²

Найти:

$F_4$ - ?

Решение:

Переведем массу из тонн в килограммы: $50 \text{ т} = 50 \cdot 1000 \text{ кг} = 50000 \text{ кг}$.

$F_4 = m_4 \cdot g = 50000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 500000 \text{ Н}$

Ответ: 500000 Н (или 500 кН).

2. Определите приблизительно силу тяжести, действующую на человека массой 64 кг. (Принять g = 10 м/с².) Притягивается ли земной шар к этому человеку? Если да, то чему приблизительно равна эта сила?

Дано:

Масса человека, $m = 64 \text{ кг}$

Ускорение свободного падения, $g = 10 \text{ м/с}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу тяжести, действующую на человека, $F_{т}$ - ?

Силу, с которой Земля притягивается к человеку, $F_{З \to ч}$ - ?

Решение:

Определите приблизительно силу тяжести, действующую на человека массой 64 кг.

Сила тяжести, действующая на тело, находящееся на поверхности планеты, вычисляется как произведение массы тела на ускорение свободного падения:

$F_т = m \cdot g$

Подставим в формулу значения, данные в условии задачи:

$F_т = 64 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 640 \text{ Н}$

Ответ: Приблизительная сила тяжести, действующая на человека, равна 640 Н.

Притягивается ли земной шар к этому человеку? Если да, то чему приблизительно равна эта сила?

Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Сила, с которой Земля притягивает человека (которую мы нашли выше), и сила, с которой человек притягивает Землю, — это как раз пара таких сил взаимодействия.

Следовательно, земной шар притягивается к человеку. Величина этой силы притяжения равна по модулю силе тяжести, действующей на человека.

$F_{З \to ч} = F_т = 640 \text{ Н}$

Ответ: Да, земной шар притягивается к человеку. Эта сила приблизительно равна 640 Н.

3. Первый советский искусственный спутник Земли был запущен 4 октября 1957 г. Определите массу этого спутника, если известно, что на Земле на него действовала сила тяжести, равная 819,3 Н.

Дано:

$F_{т} = 819,3$ Н

$g \approx 9,8$ Н/кг

Найти:

$m$ - ?

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело на поверхности Земли, определяется по формуле, связывающей массу тела и ускорение свободного падения:

$F_{т} = m \cdot g$

где $F_{т}$ — сила тяжести, $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения (на Земле его значение принимается примерно равным 9,8 Н/кг).

Чтобы найти массу спутника, выразим её из этой формулы:

$m = \frac{F_{т}}{g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{819,3 \text{ Н}}{9,8 \text{ Н/кг}} = 83,6 \text{ кг}$

Ответ: масса спутника составляет 83,6 кг.

4. Ракета пролетает на расстоянии, равном 5000 км от поверхности Земли. Можно ли рассчитывать действующую на космическую ракету силу тяжести, принимая g = 9,8 м/с²? (Радиус Земли приблизительно равен 6400 км.) Ответ поясните.

Дано:

Высота ракеты над поверхностью Земли $h = 5000 \text{ км}$

Радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g_0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Переведем данные в систему СИ:

$h = 5000 \cdot 10^3 \text{ м} = 5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Можно ли для расчета силы тяжести на высоте $h$ использовать значение $g_0$? Пояснить ответ.

Решение:

Значение ускорения свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ справедливо только для тел, находящихся на поверхности Земли или на небольших, по сравнению с ее радиусом, высотах.

Ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли согласно закону всемирного тяготения. Общая формула для ускорения свободного падения на расстоянии $r$ от центра планеты массой $M$ имеет вид:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, и ускорение свободного падения равно $g_0$:

$g_0 = G \frac{M}{R_З^2} \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до центра Земли составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет равно:

$g_h = G \frac{M}{(R_З + h)^2}$

Чтобы сравнить $g_h$ и $g_0$, найдем их отношение:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M}{(R_З + h)^2}}{G \frac{M}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = (\frac{R_З}{R_З + h})^2$

Подставим числовые значения (можно использовать значения в километрах, так как они находятся в отношении и единицы измерения сократятся):

$R_З = 6400 \text{ км}$

$h = 5000 \text{ км}$

$R_З + h = 6400 \text{ км} + 5000 \text{ км} = 11400 \text{ км}$

$\frac{g_h}{g_0} = (\frac{6400 \text{ км}}{11400 \text{ км}})^2 = (\frac{64}{114})^2 \approx (0,5614)^2 \approx 0,315$

Таким образом, ускорение свободного падения на высоте 5000 км составляет:

$g_h = g_0 \cdot 0,315 \approx 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,315 \approx 3,09 \text{ м/с}^2$

Полученное значение $g_h \approx 3,09 \text{ м/с}^2$ существенно отличается от значения $g_0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$. Разница составляет более чем в 3 раза.

Использование значения $g=9,8 \text{ м/с}^2$ для расчета силы тяжести на такой высоте приведет к грубой ошибке, завысив результат более чем в три раза.

Ответ: Нет, рассчитывать силу тяжести, действующую на ракету на высоте 5000 км от поверхности Земли, принимая $g = 9,8 \text{ м/с}^2$, нельзя. Это значение справедливо лишь у поверхности планеты. На высоте 5000 км, которая сопоставима с радиусом Земли (6400 км), ускорение свободного падения значительно уменьшается. Расчет показывает, что на данной высоте оно составляет примерно $3,09 \text{ м/с}^2$, что более чем в три раза меньше, чем у поверхности. Поэтому использование значения $9,8 \text{ м/с}^2$ приведет к неверному, сильно завышенному результату.

5. Ястреб в течение некоторого времени может парить на одной и той же высоте над Землёй. Значит ли это, что на него не действует сила тяжести? Что произойдёт с ястребом, если он сложит крылья?

Значит ли это, что на него не действует сила тяжести?

Нет, это не значит, что на ястреба не действует сила тяжести. Сила тяжести ($F_{тяж}$), направленная вертикально вниз, действует на любое тело, обладающее массой и находящееся вблизи Земли. То, что ястреб парит на одной и той же высоте, говорит о том, что его вес (сила тяжести) скомпенсирован другой силой, равной по модулю и противоположной по направлению. Этой силой является подъёмная сила воздуха ($F_{под}$), которая действует на крылья ястреба. Ястребы умело используют восходящие потоки тёплого воздуха (термики), чтобы парить, не затрачивая много усилий. Согласно первому закону Ньютона, так как вертикальное ускорение ястреба равно нулю, сумма всех сил, действующих на него в вертикальном направлении, также равна нулю: $ \vec{F}_{тяж} + \vec{F}_{под} = 0 $.

Ответ: Нет, сила тяжести на ястреба действует, но она уравновешена подъёмной силой, действующей со стороны воздуха на его крылья.

Что произойдёт с ястребом, если он сложит крылья?

Если ястреб сложит крылья, площадь их поверхности, взаимодействующей с воздухом, резко уменьшится. В результате подъёмная сила, которая удерживала его на высоте, практически исчезнет. Сила тяжести при этом никуда не денется и продолжит действовать на ястреба, притягивая его к Земле. Равновесие сил нарушится. Возникнет результирующая сила, направленная вертикально вниз и по величине почти равная силе тяжести. Под действием этой несбалансированной силы ястреб, согласно второму закону Ньютона, начнёт двигаться с ускорением вниз, то есть будет падать.

Ответ: Если ястреб сложит крылья, он начнёт падать на Землю под действием силы тяжести.

6*. С Земли стартует космическая ракета с космонавтом на борту. На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести, действующая на космонавта, будет в 4 раза меньше, чем перед стартом; в 9 раз меньше, чем перед стартом?

Дано:

Уменьшение силы тяжести в $n_1 = 4$ раза.

Уменьшение силы тяжести в $n_2 = 9$ раз.

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$.

Перевод в систему СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Найти:

$h_1$ — расстояние от поверхности Земли, где сила тяжести меньше в 4 раза.

$h_2$ — расстояние от поверхности Земли, где сила тяжести меньше в 9 раз.

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело (космонавта), определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса космонавта, $R$ — расстояние от центра Земли до космонавта.

Перед стартом, на поверхности Земли, расстояние до центра Земли равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяжести $F_1$ на поверхности равна:

$F_1 = G \frac{M_З \cdot m_к}{R_З^2}$

На высоте $h$ от поверхности Земли расстояние до центра Земли будет $R = R_З + h$. Сила тяжести $F_2$ на этой высоте будет равна:

$F_2 = G \frac{M_З \cdot m_к}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, сила тяжести на высоте $h$ ($F_2$) в $n$ раз меньше, чем на поверхности ($F_1$). Это можно записать как отношение:

$\frac{F_1}{F_2} = n$

Подставим выражения для сил в это отношение:

$\frac{G \frac{M_З \cdot m_к}{R_З^2}}{G \frac{M_З \cdot m_к}{(R_З + h)^2}} = n$

После сокращения одинаковых множителей ($G, M_З, m_к$) получаем:

$\frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = n$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$:

$(R_З + h)^2 = n \cdot R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (расстояния могут быть только положительными):

$R_З + h = \sqrt{n} \cdot R_З$

$h = \sqrt{n} \cdot R_З - R_З = R_З(\sqrt{n} - 1)$

Мы получили общую формулу для вычисления высоты $h$ при уменьшении силы тяжести в $n$ раз. Теперь применим ее к двум случаям из условия задачи.

На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести... будет в 4 раза меньше, чем перед стартом

В этом случае коэффициент ослабления силы тяжести $n_1 = 4$.

Подставим это значение в нашу формулу для высоты $h_1$:

$h_1 = R_З(\sqrt{4} - 1) = R_З(2 - 1) = R_З$

Таким образом, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 4 раза, равна радиусу Земли.

$h_1 \approx 6400 \text{ км}$

Ответ: сила тяжести будет в 4 раза меньше на расстоянии от поверхности Земли, равном одному радиусу Земли, что составляет приблизительно 6400 км.

На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести... будет в 9 раз меньше, чем перед стартом

В этом случае коэффициент ослабления силы тяжести $n_2 = 9$.

Подставим это значение в формулу для высоты $h_2$:

$h_2 = R_З(\sqrt{9} - 1) = R_З(3 - 1) = 2R_З$

Следовательно, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 9 раз, равна двум радиусам Земли.

$h_2 \approx 2 \cdot 6400 \text{ км} = 12800 \text{ км}$

Ответ: сила тяжести будет в 9 раз меньше на расстоянии от поверхности Земли, равном двум радиусам Земли, что составляет приблизительно 12800 км.