Номер 1, страница 50 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 10. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. Темы докладов и проектов - номер 1, страница 50.

Условие.

1. Графическое представление уравнений механического движения.

Решение.

Графическое представление уравнений механического движения.

Графическое представление уравнений механического движения является мощным инструментом для анализа и понимания характера движения тела. Основными графиками, используемыми в кинематике, являются графики зависимости координаты ($\text{x}$), проекции скорости ($v_x$) и проекции ускорения ($a_x$) от времени ($\text{t}$). Рассмотрим эти графики для основных видов прямолинейного движения.

Равномерное прямолинейное движение

Это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Скорость тела постоянна ($v = const$), а ускорение равно нулю ($a = 0$).
Уравнения движения:
Проекция ускорения: $a_x(t) = 0$
Проекция скорости: $v_x(t) = v_{0x} = const$
Координата: $x(t) = x_0 + v_{0x} t$

График ускорения $a_x(t)$
Так как ускорение равно нулю, график представляет собой прямую линию, совпадающую с осью времени $\text{t}$.

График скорости $v_x(t)$
Так как скорость постоянна, график зависимости $v_x(t)$ — это прямая, параллельная оси времени $\text{t}$. Если $v_{0x} > 0$, прямая расположена выше оси $\text{t}$. Если $v_{0x} < 0$, прямая расположена ниже оси $\text{t}$. Если $v_{0x} = 0$, тело покоится, и график совпадает с осью $\text{t}$.
Физический смысл площади под графиком скорости: площадь прямоугольника под графиком $v_x(t)$ за промежуток времени $\Delta t$ численно равна перемещению тела $\Delta x = v_x \cdot \Delta t$ за этот промежуток времени.

График координаты $x(t)$
Уравнение $x(t) = x_0 + v_{0x} t$ является линейной функцией. Следовательно, график зависимости $x(t)$ — это прямая линия.
- Начальная координата $x_0$ — это точка пересечения графика с осью ординат (осью $\text{x}$).
- Проекция скорости $v_{0x}$ определяет наклон графика к оси времени $\text{t}$. Тангенс угла наклона графика к оси $\text{t}$ численно равен проекции скорости: $v_{0x} = \tan(\alpha)$.
- Если $v_{0x} > 0$, график направлен вверх (угол наклона острый).
- Если $v_{0x} < 0$, график направлен вниз (угол наклона тупой).
- Если $v_{0x} = 0$, график является прямой, параллельной оси времени $\text{t}$.

Равноускоренное прямолинейное движение

Это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Ускорение тела постоянно ($a = const \neq 0$).
Уравнения движения:
Проекция ускорения: $a_x(t) = const$
Проекция скорости: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$
Координата: $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

График ускорения $a_x(t)$
Так как ускорение постоянно, график $a_x(t)$ — это прямая, параллельная оси времени $\text{t}$. Если $a_x > 0$ (равноускоренное движение), прямая лежит выше оси $\text{t}$. Если $a_x < 0$ (равнозамедленное движение), прямая лежит ниже оси $\text{t}$.
Физический смысл площади под графиком ускорения: площадь фигуры под графиком $a_x(t)$ за промежуток времени $\Delta t$ численно равна изменению скорости $\Delta v_x = a_x \Delta t$ за этот промежуток.

График скорости $v_x(t)$
Уравнение $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$ является линейной функцией. График $v_x(t)$ — это прямая линия.
- Начальная скорость $v_{0x}$ — это точка пересечения графика с осью ординат (осью $v_x$).
- Проекция ускорения $a_x$ определяет наклон графика. Тангенс угла наклона графика к оси $\text{t}$ численно равен проекции ускорения: $a_x = \tan(\beta)$.
- Если $a_x > 0$, график направлен вверх.
- Если $a_x < 0$, график направлен вниз.
Физический смысл площади под графиком скорости: как и в случае равномерного движения, площадь фигуры под графиком $v_x(t)$ (в данном случае — трапеции или треугольника) за промежуток времени $\Delta t$ численно равна перемещению $\Delta x$ тела за это время.

График координаты $x(t)$
Уравнение $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$ является квадратичной функцией. График $x(t)$ — это парабола.
- Начальная координата $x_0$ — точка пересечения параболы с осью $\text{x}$.
- Знак проекции ускорения $a_x$ определяет направление ветвей параболы: если $a_x > 0$, ветви направлены вверх; если $a_x < 0$, ветви направлены вниз.
- Вершина параболы соответствует моменту времени, когда мгновенная скорость тела равна нулю ($v_x = 0$), то есть моменту остановки и смены направления движения (если это происходит).
Физический смысл наклона касательной: наклон касательной, проведенной к графику $x(t)$ в некоторой точке, численно равен мгновенной скорости тела в соответствующий момент времени.

Обобщенная связь между графиками

Между графиками кинематических величин существует дифференциальная и интегральная связь:
1. Скорость является производной координаты по времени: $v_x(t) = x'(t)$. Геометрически это означает, что значение скорости в любой момент времени равно тангенсу угла наклона касательной к графику $x(t)$ в этот момент.
2. Ускорение является производной скорости по времени: $a_x(t) = v'_x(t)$. Геометрически это означает, что значение ускорения в любой момент времени равно тангенсу угла наклона графика $v_x(t)$ к оси времени.
3. Перемещение является интегралом от скорости по времени: $\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v_x(t) dt$. Геометрически это означает, что перемещение за промежуток времени $[t_1, t_2]$ равно площади фигуры под графиком $v_x(t)$ на этом промежутке.
4. Изменение скорости является интегралом от ускорения по времени: $\Delta v_x = \int_{t_1}^{t_2} a_x(t) dt$. Геометрически это означает, что изменение скорости за промежуток времени $[t_1, t_2]$ равно площади фигуры под графиком $a_x(t)$ на этом промежутке.

Ответ:
Графическое представление уравнений механического движения позволяет наглядно анализировать характер движения тела. Для равномерного прямолинейного движения ($a_x=0$) график координаты от времени $x(t)$ представляет собой прямую линию, график скорости $v_x(t)$ — прямую, параллельную оси времени, а график ускорения $a_x(t)$ совпадает с осью времени. Для равноускоренного прямолинейного движения ($a_x=const$) график $x(t)$ — парабола, график $v_x(t)$ — наклонная прямая, а график $a_x(t)$ — прямая, параллельная оси времени. Ключевые связи между графиками: наклон графика $x(t)$ (тангенс угла наклона касательной) дает мгновенную скорость $v_x$, наклон графика $v_x(t)$ дает ускорение $a_x$, а площадь под графиком $v_x(t)$ дает перемещение $\Delta x$.