Номер 3, страница 112 - гдз по физике 9 класс учебник Шахмаев, Бунчук

Глава 7. Закон сохранения импульса. Параграф 26. Закон сохранения импульса - номер 3, страница 112.

Условие.

*3. Могут ли осколки взорвавшейся гранаты лететь в одном направлении, если до взрыва граната покоилась? А если двигалась?

Решение.

Если до взрыва граната покоилась

В данном случае применим закон сохранения импульса. Система «граната» до взрыва является замкнутой (или, точнее, можно пренебречь внешними силами, такими как сила тяжести, по сравнению с огромными внутренними силами взрыва).

Поскольку граната до взрыва покоилась, её начальный импульс (импульс системы до взаимодействия) был равен нулю: $ \vec{P}_{начальный} = 0 $.

Согласно закону сохранения импульса, полный импульс системы осколков после взрыва также должен быть равен нулю: $ \vec{P}_{конечный} = \sum_{i} m_i \vec{v_i} = 0 $, где $m_i$ и $\vec{v_i}$ — это масса и вектор скорости $\text{i}$-го осколка соответственно.

Импульс является векторной величиной. Если предположить, что все осколки летят в одном направлении, то все векторы скоростей $\vec{v_i}$ будут сонаправлены. Так как массы $m_i$ являются положительными скалярными величинами, то и все векторы импульсов $m_i \vec{v_i}$ будут сонаправлены. Сумма нескольких сонаправленных ненулевых векторов не может быть равна нулевому вектору. Она будет представлять собой ненулевой вектор, направленный в ту же сторону, что и векторы-слагаемые.

Это противоречит закону сохранения импульса. Следовательно, чтобы суммарный импульс был равен нулю, осколки обязаны разлетаться в разные стороны.

Ответ: Нет, не могут.

А если двигалась?

Если граната до взрыва двигалась с некоторой скоростью $\vec{V}$, то её начальный импульс был отличен от нуля и равен: $ \vec{P}_{начальный} = M \vec{V} $, где $\text{M}$ — это общая масса гранаты.

По закону сохранения импульса, суммарный импульс всех осколков после взрыва должен быть равен начальному импульсу гранаты: $ \vec{P}_{конечный} = \sum_{i} m_i \vec{v_i} = M \vec{V} $.

В этом случае все осколки могут лететь в одном направлении. Рассмотрим этот процесс в системе отсчета, связанной с землей. Скорость любого осколка $\vec{v_i}$ после взрыва можно представить как векторную сумму скорости гранаты до взрыва $\vec{V}$ и скорости осколка $\vec{u_i}$ относительно центра масс гранаты: $ \vec{v_i} = \vec{V} + \vec{u_i} $.

В системе отсчета, связанной с центром масс, взрыв происходит так же, как и у покоящейся гранаты: осколки разлетаются в разные стороны, и их суммарный импульс равен нулю ($\sum m_i \vec{u_i} = 0$).

Чтобы все осколки летели в одном направлении (например, по направлению первоначального движения $\vec{V}$), необходимо, чтобы итоговая скорость $\vec{v_i}$ каждого осколка была сонаправлена с $\vec{V}$. Это возможно, если скорость движения гранаты $\vec{V}$ будет по модулю больше, чем скорость любого осколка $\vec{u_i}$, летящего в противоположную сторону в системе отсчета центра масс.

Например, для осколка, который относительно центра масс полетел назад, его скорость относительно земли будет равна разности $|\vec{V}| - |\vec{u_i}|$. Если $|\vec{V}| > |\vec{u_i}|$, то этот осколок все равно продолжит движение вперед. Если это условие выполняется для самого быстрого "заднего" осколка, то оно будет выполняться и для всех остальных.

Такая ситуация вполне реальна, если граната имеет достаточно большую начальную скорость.

Ответ: Да, могут.