Задание 3, страница 40 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Определите угловую скорость часовой и минутной стрелки часов (рис. 46). Во сколько раз отличаются их значения? Во сколько раз отличаются линейные скорости концов стрелок? Почему отношение угловых и линейных скоростей отличаются?

Рис. 46. К заданию 3

Определите угловую скорость часовой и минутной стрелки часов (рис. 46).

Угловая скорость $\omega$ определяется как отношение угла поворота $\Delta\phi$ ко времени, за которое этот поворот совершен $\Delta t$. За один полный оборот, равный $2\pi$ радиан, стрелки проходят время, равное их периоду обращения $T$. Таким образом, угловая скорость вычисляется по формуле $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Дано:

Период обращения минутной стрелки, $T_м = 1 \text{ час}$
Период обращения часовой стрелки, $T_ч = 12 \text{ часов}$

Переведем данные в систему СИ (секунды):
$T_м = 1 \times 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$
$T_ч = 12 \times 60 \times 60 \text{ с} = 43200 \text{ с}$

Найти:

$\omega_м$ - угловая скорость минутной стрелки
$\omega_ч$ - угловая скорость часовой стрелки

Решение:

1. Угловая скорость минутной стрелки:
$\omega_м = \frac{2\pi}{T_м} = \frac{2\pi}{3600 \text{ с}} \approx \frac{6.28}{3600 \text{ с}} \approx 1.74 \times 10^{-3} \text{ рад/с}$

2. Угловая скорость часовой стрелки:
$\omega_ч = \frac{2\pi}{T_ч} = \frac{2\pi}{43200 \text{ с}} \approx \frac{6.28}{43200 \text{ с}} \approx 1.45 \times 10^{-4} \text{ рад/с}$

Ответ: Угловая скорость минутной стрелки $\omega_м \approx 1.74 \times 10^{-3} \text{ рад/с}$, а часовой стрелки $\omega_ч \approx 1.45 \times 10^{-4} \text{ рад/с}$.

Во сколько раз отличаются их значения?

Для того чтобы найти, во сколько раз отличаются угловые скорости, найдем их отношение:
$\frac{\omega_м}{\omega_ч} = \frac{2\pi/T_м}{2\pi/T_ч} = \frac{T_ч}{T_м}$
$\frac{\omega_м}{\omega_ч} = \frac{12 \text{ часов}}{1 \text{ час}} = 12$
Это означает, что минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой.

Ответ: Угловая скорость минутной стрелки в 12 раз больше угловой скорости часовой стрелки.

Во сколько раз отличаются линейные скорости концов стрелок?

Линейная скорость $v$ точки, движущейся по окружности радиусом $R$, связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением $v = \omega R$. В нашем случае $R$ — это длина стрелки.
Пусть $R_м$ - длина минутной стрелки, а $R_ч$ - длина часовой стрелки.
Тогда линейные скорости их концов равны:
$v_м = \omega_м R_м$
$v_ч = \omega_ч R_ч$
Найдем их отношение:
$\frac{v_м}{v_ч} = \frac{\omega_м R_м}{\omega_ч R_ч} = \frac{\omega_м}{\omega_ч} \cdot \frac{R_м}{R_ч}$
Мы уже знаем, что $\frac{\omega_м}{\omega_ч} = 12$. Поэтому:
$\frac{v_м}{v_ч} = 12 \cdot \frac{R_м}{R_ч}$
Отношение линейных скоростей зависит от отношения длин стрелок. В большинстве часов минутная стрелка длиннее часовой. Предположим, для примера, что минутная стрелка в 1.5 раза длиннее часовой, т.е. $R_м = 1.5 R_ч$. Тогда:
$\frac{v_м}{v_ч} = 12 \cdot 1.5 = 18$

Ответ: Отношение линейных скоростей концов стрелок равно $\frac{v_м}{v_ч} = 12 \cdot \frac{R_м}{R_ч}$, где $R_м$ и $R_ч$ - длины минутной и часовой стрелок соответственно. Если предположить, что минутная стрелка в 1.5 раза длиннее часовой, то линейная скорость ее конца будет в 18 раз больше.

Почему отношение угловых и линейных скоростей отличаются?

Отношение угловых скоростей является постоянной величиной, определяемой только периодами вращения стрелок: $\frac{\omega_м}{\omega_ч} = 12$. Оно не зависит от геометрии часов.
Отношение же линейных скоростей, как было показано выше, зависит также от отношения длин стрелок: $\frac{v_м}{v_ч} = \frac{\omega_м}{\omega_ч} \cdot \frac{R_м}{R_ч}$.
Отличие возникает из-за того, что линейная скорость точки на вращающемся теле ($v=\omega R$) зависит не только от угловой скорости вращения всего тела ($\omega$), но и от расстояния этой точки до оси вращения ($R$). Угловая скорость одинакова для всех точек жесткого тела (стрелки), а линейная скорость разная: чем дальше точка от центра, тем она больше. Поскольку концы стрелок находятся на разных расстояниях от центра ($R_м \neq R_ч$), в отношение их линейных скоростей добавляется множитель $\frac{R_м}{R_ч}$, который, как правило, не равен единице.

Ответ: Отношение угловых скоростей зависит только от периодов обращения, в то время как отношение линейных скоростей дополнительно зависит от отношения длин стрелок. Так как линейная скорость пропорциональна радиусу вращения ($v = \omega R$), а длины стрелок различны, то и отношение линейных скоростей отличается от отношения угловых.