Эксперимент, страница 71 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент

Закрепите концы нити длиной около 10–15 см на концах иголок. Воткните иголки в одну точку и, натянув карандашом нить, начертите кривую (рис. 82). Повторите ваши действия, расставив иглы на расстояния 3 см, 6 см, 9 см. Убедитесь в том, что увеличение эксцентриситета от 0 до 1 превращает окружность в прямую линию.

$\text{a}$ – большая полуось

Рис. 82. Эллипс становится более вытянутым при увеличении расстояния между фокусами

Дано:

Длина нити $L$ из диапазона 10–15 см. Для проведения расчетов выберем конкретное значение $L = 12 \text{ см}$.

Расстояние между иглами (фокусами), $2c$, принимает последовательные значения:

$2c_1 = 0 \text{ см}$ (иглы в одной точке)

$2c_2 = 3 \text{ см}$

$2c_3 = 6 \text{ см}$

$2c_4 = 9 \text{ см}$

Найти:

Продемонстрировать, как с увеличением расстояния между фокусами изменяется форма получаемой кривой и ее эксцентриситет $e$. Убедиться, что увеличение эксцентриситета от 0 до 1 превращает окружность в прямую линию.

Решение:

По определению, эллипс — это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов $F_1$ и $F_2$) есть величина постоянная. В данном эксперименте эта постоянная сумма равна длине нити $L$.

Эта же сумма равна удвоенной большой полуоси эллипса, $2a$. Следовательно, $2a = L$.

При выбранной длине нити $L = 12 \text{ см}$, большая полуось $a = L/2 = 6 \text{ см}$ является постоянной величиной для всех построений.

Основные параметры эллипса связаны соотношением $a^2 = b^2 + c^2$, где $b$ — малая полуось, а $c$ — половина расстояния между фокусами.

Эксцентриситет эллипса, который характеризует степень его "вытянутости", вычисляется по формуле $e = c/a$.

Рассмотрим каждый случай, предложенный в эксперименте.

Случай 1: Расстояние между иглами $2c_1 = 0 \text{ см}$

Когда иглы воткнуты в одну точку, фокусы совпадают. Расстояние между ними $2c_1 = 0$, откуда $c_1 = 0$.

Эксцентриситет в этом случае равен: $e_1 = c_1/a = 0/6 = 0$.

Найдем малую полуось: $b_1^2 = a^2 - c_1^2 = 6^2 - 0^2 = 36$. Таким образом, $b_1 = 6 \text{ см}$.

Так как большая и малая полуоси равны ($a = b_1$), полученная кривая является окружностью с радиусом $R = a = 6 \text{ см}$.

Случай 2: Расстояние между иглами $2c_2 = 3 \text{ см}$

Расстояние между фокусами $2c_2 = 3 \text{ см}$, следовательно, $c_2 = 1.5 \text{ см}$.

Эксцентриситет равен: $e_2 = c_2/a = 1.5/6 = 0.25$.

Найдем малую полуось: $b_2^2 = a^2 - c_2^2 = 6^2 - (1.5)^2 = 36 - 2.25 = 33.75$. Отсюда $b_2 = \sqrt{33.75} \approx 5.81 \text{ см}$.

Поскольку $b_2 < a$, кривая является эллипсом, который немного "сплюснут" по сравнению с окружностью.

Случай 3: Расстояние между иглами $2c_3 = 6 \text{ см}$

Расстояние между фокусами $2c_3 = 6 \text{ см}$, следовательно, $c_3 = 3 \text{ см}$.

Эксцентриситет равен: $e_3 = c_3/a = 3/6 = 0.5$.

Найдем малую полуось: $b_3^2 = a^2 - c_3^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$. Отсюда $b_3 = \sqrt{27} \approx 5.20 \text{ см}$.

Эллипс стал заметно более вытянутым, так как малая полуось $b_3$ уменьшилась.

Случай 4: Расстояние между иглами $2c_4 = 9 \text{ см}$

Расстояние между фокусами $2c_4 = 9 \text{ см}$, следовательно, $c_4 = 4.5 \text{ см}$.

Эксцентриситет равен: $e_4 = c_4/a = 4.5/6 = 0.75$.

Найдем малую полуось: $b_4^2 = a^2 - c_4^2 = 6^2 - (4.5)^2 = 36 - 20.25 = 15.75$. Отсюда $b_4 = \sqrt{15.75} \approx 3.97 \text{ см}$.

Эллипс стал еще более узким и вытянутым.

Анализ и предельный случай

Проведенные расчеты показывают, что по мере увеличения расстояния между фокусами $2c$ от 0 до значения, равного длине нити $2a$, происходят следующие изменения:

1. Эксцентриситет $e = c/a$ монотонно возрастает от 0 до 1, так как $c$ увеличивается, а $a$ постоянно.

2. Малая полуось $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ монотонно уменьшается, что и приводит к "вытягиванию" эллипса.

Рассмотрим предельный случай, когда расстояние между фокусами становится равным длине нити: $2c = L = 2a$, что означает $c = a$.

В этом случае эксцентриситет $e = c/a = a/a = 1$.

Малая полуось $b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{a^2 - a^2} = 0$.

Эллипс с нулевой малой полуосью вырождается в отрезок прямой линии, который соединяет два фокуса. Длина этого отрезка равна большой оси $2a$.

Таким образом, эксперимент наглядно демонстрирует, что плавное увеличение эксцентриситета эллипса от 0 до 1 является процессом трансформации окружности в отрезок прямой линии.

Ответ:

Анализ эксперимента показывает, что при увеличении расстояния между иглами (фокусами) от нуля до значения, равного длине нити, форма кривой изменяется от окружности до отрезка прямой. Это изменение количественно описывается эксцентриситетом $e$. При $e=0$ (фокусы в одной точке) кривая является окружностью. С ростом расстояния между фокусами эксцентриситет увеличивается, а эллипс становится более вытянутым. В предельном случае, когда расстояние между фокусами равно длине нити, эксцентриситет достигает значения $e=1$, и эллипс вырождается в отрезок прямой линии. Это подтверждает утверждение, что увеличение эксцентриситета от 0 до 1 превращает окружность в прямую линию.