Номер 2, страница 74 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. Определите массу Луны, приняв массу Земли равной $6 \cdot 10^{24}$ кг, расстояние от Земли до Луны 384 000 км. Период обращения Луны вокруг Земли 27,32 суток.

Дано:

Масса Земли $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Расстояние от Земли до Луны $R = 384 \, 000$ км

Период обращения Луны $T = 27,32$ суток

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Перевод в систему СИ:

$M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

$R = 384 \, 000 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \text{ км} = 3.84 \cdot 10^8$ м

$T = 27.32 \text{ суток} = 27.32 \cdot 24 \text{ часа/сутки} \cdot 3600 \text{ с/час} = 2360448$ с $\approx 2.36 \cdot 10^6$ с

Найти:

$m_Л$

Решение:

Для определения массы Луны воспользуемся обобщенным третьим законом Кеплера, который описывает движение двух тел, вращающихся вокруг общего центра масс под действием гравитации. Закон имеет вид:

$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G(M_З + m_Л)}$

где $T$ — период обращения, $R$ — расстояние между центрами тел, $M_З$ — масса Земли, $m_Л$ — масса Луны, $G$ — гравитационная постоянная.

Из этой формулы можно выразить сумму масс Земли и Луны:

$M_З + m_Л = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$

Соответственно, масса Луны $m_Л$ будет равна разности между полной массой системы и массой Земли:

$m_Л = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2} - M_З$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления. Сначала найдем сумму масс:

$M_З + m_Л = \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot (3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^3}{6.674 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot (2360448 \text{ с})^2}$

$M_З + m_Л = \frac{39.4784 \cdot 5.6623104 \cdot 10^{25} \text{ м}^3}{6.674 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 5.571715 \cdot 10^{12} \text{ с}^2}$

$M_З + m_Л = \frac{2.23533 \cdot 10^{26}}{3.7193 \cdot 10^2}$ кг

$M_З + m_Л \approx 6.01 \cdot 10^{24}$ кг

Теперь вычтем из полученного значения массу Земли, данную в условии:

$m_Л = 6.01 \cdot 10^{24} \text{ кг} - 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$m_Л = (6.01 - 6) \cdot 10^{24} \text{ кг} = 0.01 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$m_Л = 1 \cdot 10^{22}$ кг

Ответ:

Масса Луны, рассчитанная по данным задачи, составляет $1 \cdot 10^{22}$ кг.