Номер 2, страница 157 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. За одно и то же время один математический маятник делает 50 колебаний, а второй – 30. Определите их длины, если один из них на 32 см короче.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $n_1 = 50$

Число колебаний второго маятника, $n_2 = 30$

Разность длин маятников, $\Delta l = 32 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$\Delta l = 0.32 \text{ м}$

Найти:

Длины маятников $l_1$ и $l_2$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, $g$ – ускорение свободного падения.

Также период можно выразить через число колебаний $n$ за время $t$:

$T = \frac{t}{n}$

Запишем периоды для двух маятников:

$T_1 = \frac{t}{n_1}$ и $T_2 = \frac{t}{n_2}$

Поскольку $n_1 > n_2$, то $T_1 < T_2$. Так как период прямо пропорционален корню из длины, то и длина первого маятника короче второго: $l_1 < l_2$.

Из условия задачи следует, что разность их длин составляет $\Delta l$:

$l_2 - l_1 = \Delta l$

Составим отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{t/n_2}{t/n_1} = \frac{n_1}{n_2}$

С другой стороны, это же отношение можно выразить через длины маятников:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Приравняем правые части полученных выражений:

$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{n_1}{n_2})^2 = \frac{l_2}{l_1}$

Из этого соотношения выразим $l_2$:

$l_2 = l_1 \cdot (\frac{n_1}{n_2})^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для разности длин $l_2 - l_1 = \Delta l$:

$l_1 \cdot (\frac{n_1}{n_2})^2 - l_1 = \Delta l$

$l_1 \cdot ((\frac{n_1}{n_2})^2 - 1) = \Delta l$

Отсюда находим длину первого маятника $l_1$:

$l_1 = \frac{\Delta l}{(\frac{n_1}{n_2})^2 - 1}$

Подставим числовые значения:

$l_1 = \frac{0.32}{(\frac{50}{30})^2 - 1} = \frac{0.32}{(\frac{5}{3})^2 - 1} = \frac{0.32}{\frac{25}{9} - 1} = \frac{0.32}{\frac{25-9}{9}} = \frac{0.32}{\frac{16}{9}} = 0.32 \cdot \frac{9}{16} = 0.02 \cdot 9 = 0.18 \text{ м}$

Теперь найдем длину второго маятника $l_2$:

$l_2 = l_1 + \Delta l = 0.18 + 0.32 = 0.50 \text{ м}$

Таким образом, длина первого маятника составляет 18 см, а второго - 50 см.

Ответ: длина одного маятника 18 см, второго – 50 см.