Номер 3, страница 157 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один из них совершает 10, а второй — 30 колебаний?

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 10$.
Число колебаний второго маятника, $N_2 = 30$.
Время колебаний одинаково, $t_1 = t_2 = t$.

Данные величины являются безразмерными и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Отношение длин маятников — $\frac{l_1}{l_2}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника $T$ связан с его длиной $l$ и ускорением свободного падения $g$ следующей формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Период также можно определить как время $t$, затраченное на совершение $N$ полных колебаний: $T = \frac{t}{N}$

Запишем выражения для периодов первого ($T_1$) и второго ($T_2$) маятников: $T_1 = \frac{t}{N_1}$
$T_2 = \frac{t}{N_2}$

Найдем отношение периодов их колебаний. Так как время $t$ одинаково для обоих маятников, оно сократится: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{N_2}{N_1}$

Теперь выразим длину маятника $l$ из основной формулы периода. Для этого возведем обе части формулы в квадрат: $T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g}$ Отсюда длина $l$: $l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Теперь мы можем найти отношение длин первого ($l_1$) и второго ($l_2$) маятников: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\frac{T_1^2 g}{4\pi^2}}{\frac{T_2^2 g}{4\pi^2}} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = (\frac{T_1}{T_2})^2$

Подставим в полученное выражение найденное ранее отношение периодов через число колебаний: $\frac{l_1}{l_2} = (\frac{N_2}{N_1})^2$

Подставим числовые значения из условия задачи: $N_1 = 10$ и $N_2 = 30$. $\frac{l_1}{l_2} = (\frac{30}{10})^2 = 3^2 = 9$

Это означает, что длина первого маятника в 9 раз больше длины второго. Это логично, так как маятник с большей длиной имеет больший период и, следовательно, совершает меньше колебаний за то же время.

Ответ: отношение длины первого маятника к длине второго равно 9, то есть $l_1 = 9l_2$.