Номер 45, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

45. Найдите площадь сегмента, отсекаемого от круга радиусом 1 хордой, стягивающей дугу этого сегмента величиной:

a) $60^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $120^\circ$.

Площадь сегмента круга вычисляется как разность площади соответствующего сектора и площади равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу.Радиус круга по условию $R = 1$.Формула для площади сектора, ограниченного дугой с центральным углом $\alpha$ (в градусах), имеет вид:$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$Площадь равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, вычисляется по формуле:$S_{треуг.} = \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$Следовательно, площадь сегмента равна:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$Подставив $R=1$, получаем рабочую формулу:$S_{сегмента} = \frac{\pi \alpha}{360^\circ} - \frac{\sin \alpha}{2}$

а)Для дуги величиной $60^\circ$ центральный угол $\alpha = 60^\circ$.Найдем площадь сектора:$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{6}$Найдем площадь треугольника:$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$Теперь найдем площадь сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

б)Для дуги величиной $90^\circ$ центральный угол $\alpha = 90^\circ$.Найдем площадь сектора:$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{4}$Найдем площадь треугольника:$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$Теперь найдем площадь сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

в)Для дуги величиной $120^\circ$ центральный угол $\alpha = 120^\circ$.Найдем площадь сектора:$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{3}$Найдем площадь треугольника. Учтем, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$Теперь найдем площадь сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$