Номер 43, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

43. Найдите площадь круга, описанного около:

a) равностороннего треугольника;

б) квадрата;

в) правильного шестиугольника со стороной 2.

Чтобы найти площадь круга, нужно сначала определить его радиус $R$, а затем использовать формулу площади $S = \pi R^2$. Радиус описанной окружности зависит от вида правильного многоугольника и длины его стороны. По условию, сторона каждого многоугольника равна 2.

а)

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По условию, сторона треугольника $a = 2$.

Подставим значение $a$ в формулу:

$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$

б)

Для квадрата со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен половине его диагонали $d$. Диагональ квадрата вычисляется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

По условию, сторона квадрата $a = 2$.

Тогда диагональ $d = 2\sqrt{2}$.

Радиус описанной окружности $R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$

Ответ: $2\pi$

в)

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Это связано с тем, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности.

По условию, сторона шестиугольника $a = 2$.

Следовательно, радиус описанной окружности $R = a = 2$.

Теперь найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$

Ответ: $4\pi$