Номер 41, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Во сколько раз уменьшится площадь круга, если его радиус уменьшить в: а) 3; б) 4; в) 5 раз?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу площади круга: $S = \pi R^2$, где $S$ — площадь, а $R$ — радиус.

Площадь круга зависит от квадрата его радиуса. Это означает, что если радиус изменяется в $k$ раз, то площадь изменяется в $k^2$ раз. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Тогда его площадь $S_1 = \pi R_1^2$.

Согласно условию, радиус уменьшили в 3 раза. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{3}$.

Новая площадь круга $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R_1}{3}\right)^2 = \pi \frac{R_1^2}{3^2} = \frac{\pi R_1^2}{9}$.

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась площадь, нужно разделить первоначальную площадь на новую:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\frac{\pi R_1^2}{9}} = 9$.

Следовательно, площадь круга уменьшится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

б)

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Тогда его площадь $S_1 = \pi R_1^2$.

Радиус уменьшили в 4 раза. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{4}$.

Новая площадь круга $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R_1}{4}\right)^2 = \pi \frac{R_1^2}{4^2} = \frac{\pi R_1^2}{16}$.

Найдем отношение первоначальной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\frac{\pi R_1^2}{16}} = 16$.

Следовательно, площадь круга уменьшится в 16 раз.

Ответ: в 16 раз.

в)

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Тогда его площадь $S_1 = \pi R_1^2$.

Радиус уменьшили в 5 раз. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{5}$.

Новая площадь круга $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R_1}{5}\right)^2 = \pi \frac{R_1^2}{5^2} = \frac{\pi R_1^2}{25}$.

Найдем отношение первоначальной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\frac{\pi R_1^2}{25}} = 25$.

Следовательно, площадь круга уменьшится в 25 раз.

Ответ: в 25 раз.