Номер 44, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

44. Найдите площадь круга, вписанного в:

а) равносторонний треугольник;

б) квадрат;

в) правильный шестиугольник со стороной 2.

а)

Поскольку сторона равностороннего треугольника не задана, будем считать ее равной $a$. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус вписанной окружности. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен трети его высоты. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда радиус вписанной окружности: $r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь можем найти площадь вписанного круга: $S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12}$.

б)

Сторона квадрата не задана, обозначим ее как $a$. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата. Следовательно, диаметр $d = a$, а радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.

Найдем площадь вписанного круга: $S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4}$.

в)

В данном случае указана сторона правильного шестиугольника: $a=2$. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник (апофема), равен высоте равностороннего треугольника, из которых состоит шестиугольник. Сторона такого треугольника равна стороне шестиугольника, то есть $a=2$. Найдем высоту $h$ этого треугольника, которая и будет радиусом $r$ вписанной окружности: $r = h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Теперь вычислим площадь вписанного круга: $S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.