Страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Какой будет длина окружности, в которой дуга в $2^\circ$ имеет длину $1$ см?

Для нахождения длины окружности воспользуемся пропорциональной зависимостью между длиной дуги и ее угловой мерой. Длина всей окружности относится к длине дуги так же, как полный угол окружности (360°) относится к угловой мере этой дуги.

Дано:

Длина дуги $l = 1$ см.

Угловая мера дуги $\alpha = 2°$.

Найти:

Длину окружности $C$.

Составим пропорцию:$$ \frac{C}{l} = \frac{360°}{\alpha} $$

Подставим в эту формулу известные значения:$$ \frac{C}{1 \text{ см}} = \frac{360°}{2°} $$

Упростим правую часть уравнения:$$ \frac{C}{1} = 180 $$

Отсюда следует, что длина окружности $C$ равна:$$ C = 180 \text{ см} $$

Можно рассуждать и по-другому: если дуга в 2° имеет длину 1 см, то вся окружность, которая содержит $360 / 2 = 180$ таких дуг, будет иметь длину $180 \times 1 \text{ см} = 180 \text{ см}$.

Ответ: 180 см.

30. Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги этой окружности, содержащую $20^\circ$.

30. Длина всей окружности, которая соответствует центральному углу в $360^\circ$, по условию равна $C = 72$ см. Длина дуги окружности прямо пропорциональна величине ее центрального угла. Нам нужно найти длину дуги, соответствующую углу в $\alpha = 20^\circ$.

Для этого сначала определим, какую часть от полной окружности составляет дуга с угловой мерой $20^\circ$. Это отношение равно отношению углов:
$ \frac{20^\circ}{360^\circ} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} $

Теперь, зная, что дуга составляет $\frac{1}{18}$ от всей окружности, мы можем найти ее длину ($L$), умножив длину всей окружности на эту долю. Расчет выглядит следующим образом:
$ L = C \times \frac{1}{18} = 72 \text{ см} \times \frac{1}{18} = \frac{72}{18} \text{ см} = 4 \text{ см} $.

Ответ: 4 см.

31. Найдите длину дуги окружности радиусом 6, соответствующей центральному углу в:

а) $20^{\circ}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $60^{\circ}$;

г) $90^{\circ}$.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула $L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол, выраженный в градусах. По условию задачи радиус $R = 6$.

а) Для центрального угла $\alpha = 20^{\circ}$:

Подставляем известные значения в формулу:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 20}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

б) Для центрального угла $\alpha = 45^{\circ}$:

Подставляем известные значения в формулу:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 45}{180} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

в) Для центрального угла $\alpha = 60^{\circ}$:

Подставляем известные значения в формулу:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 60}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

г) Для центрального угла $\alpha = 90^{\circ}$:

Подставляем известные значения в формулу:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 90}{180} = \frac{540\pi}{180} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.

32. Найдите радианную величину углов в:

а) $30^\circ$;

б) $60^\circ$;

в) $90^\circ$;

г) $120^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется соотношение $180° = \pi$ радиан. Чтобы найти радианную меру угла, заданного в градусах, необходимо умножить его градусную меру на множитель $\frac{\pi}{180°}$.

Формула для перевода выглядит следующим образом:

$\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180°}$

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

а) Для угла в $30°$:

$30° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ радиан.

б) Для угла в $60°$:

$60° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$ радиан.

в) Для угла в $90°$:

$90° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$ радиан.

г) Для угла в $120°$:

$120° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{120\pi}{180} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

33. Найдите градусную величину угла, если его радианная мера равна:

а) $\frac{\pi}{6}$;

б) $\frac{\pi}{4}$;

в) $\frac{\pi}{3}$;

г) $\frac{2\pi}{3}$.

Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула, основанная на соотношении $π \text{ радиан} = 180°$. Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно умножить его радианную меру на $\frac{180°}{π}$.

а) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $\frac{π}{6}$.

Выполним преобразование:

$\frac{π}{6} \text{ рад} = \frac{π}{6} \times \frac{180°}{π} = \frac{180°}{6} = 30°$.

Ответ: $30°$.

б) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $\frac{π}{4}$.

Выполним преобразование:

$\frac{π}{4} \text{ рад} = \frac{π}{4} \times \frac{180°}{π} = \frac{180°}{4} = 45°$.

Ответ: $45°$.

в) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $\frac{π}{3}$.

Выполним преобразование:

$\frac{π}{3} \text{ рад} = \frac{π}{3} \times \frac{180°}{π} = \frac{180°}{3} = 60°$.

Ответ: $60°$.

г) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $\frac{2π}{3}$.

Выполним преобразование:

$\frac{2π}{3} \text{ рад} = \frac{2π}{3} \times \frac{180°}{π} = \frac{2 \times 180°}{3} = 2 \times 60° = 120°$.

Ответ: $120°$.

34. Найдите длину окружности, описанной около:

а) правильного треугольника;

б) квадрата;

в) правильного шестиугольника со стороной 2.

Для нахождения длины окружности $L$ используется формула $L = 2\pi R$, где $R$ – радиус описанной окружности. Во всех случаях, указанных в задаче, сторона правильного многоугольника $a = 2$.

а) Найдем длину окружности, описанной около правильного треугольника.
Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставим значение стороны $a=2$:
$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Теперь найдем длину окружности:
$L = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$L = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi\sqrt{3}}{3}$.

б) Найдем длину окружности, описанной около квадрата.
Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали $d$. Диагональ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.
Следовательно, $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Подставим значение стороны $a=2$:
$R = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Теперь найдем длину окружности:
$L = 2\pi R = 2\pi\sqrt{2}$.
Ответ: $2\pi\sqrt{2}$.

в) Найдем длину окружности, описанной около правильного шестиугольника.
Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне $a$.
$R = a$.
Подставим значение стороны $a=2$:
$R = 2$.
Теперь найдем длину окружности:
$L = 2\pi R = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.

35. Найдите длину окружности, вписанной в:

а) правильный треугольник;

б) квадрат;

в) правильный шестиугольник со стороной 2.

а) Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ – радиус вписанной окружности. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности находится по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. По условию, сторона $a=2$.
Подставляем значение стороны в формулу для радиуса: $r = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь находим длину окружности: $L = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$

б) Для квадрата со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r$ равен половине стороны: $r = \frac{a}{2}$. По условию, сторона $a=2$.
Подставляем значение стороны: $r = \frac{2}{2} = 1$.
Находим длину окружности: $L = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$

в) Для правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r$ (апофема) находится по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По условию, сторона $a=2$.
Подставляем значение стороны: $r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Находим длину окружности: $L = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot \sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$.
Ответ: $2\pi\sqrt{3}$

36. Вычислите площадь круга, диаметр которого равен:

а) 2 см;

б) 5 м.

а) Площадь круга $S$ можно вычислить, зная его диаметр $d$, по формуле $S = \frac{\pi d^2}{4}$.
В данном случае диаметр равен $d = 2$ см.
Подставим это значение в формулу, чтобы найти площадь:
$S = \frac{\pi \cdot (2 \text{ см})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 4 \text{ см}^2}{4} = \pi$ см².
Ответ: $\pi$ см².

б) Используем ту же формулу для вычисления площади круга через диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.
В данном случае диаметр равен $d = 5$ м.
Подставим это значение в формулу:
$S = \frac{\pi \cdot (5 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 25 \text{ м}^2}{4} = 6.25\pi$ м².
Ответ: $6.25\pi$ м².

37. Вычислите радиус круга, площадь которого равна:

а) $9\pi \text{ см}^2$;

б) $25\pi \text{ м}^2$.

а) Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.
По условию, площадь круга равна $9\pi$ см². Подставим это значение в формулу:
$9\pi = \pi R^2$
Чтобы найти $R^2$, разделим обе части уравнения на $\pi$:
$R^2 = \frac{9\pi}{\pi}$
$R^2 = 9$
Теперь найдем радиус, извлекая квадратный корень. Так как радиус не может быть отрицательным, берем только положительное значение:
$R = \sqrt{9} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

б) Используем ту же формулу для площади круга: $S = \pi R^2$.
По условию, площадь равна $25\pi$ м². Подставляем это значение:
$25\pi = \pi R^2$
Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы найти $R^2$:
$R^2 = \frac{25\pi}{\pi}$
$R^2 = 25$
Извлекаем квадратный корень из 25, чтобы найти радиус:
$R = \sqrt{25} = 5$ м.
Ответ: 5 м.

38. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 2 м.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти радиус круга, зная длину его окружности, а затем, используя радиус, вычислить площадь круга.

1. Найдём радиус круга ($r$).

Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ – это радиус круга.

По условию, длина окружности равна 2 м: $C = 2$ м.

Подставим это значение в формулу:

$2 = 2 \pi r$

Выразим радиус $r$ из этого уравнения, разделив обе части на $2\pi$:

$r = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}$ м.

2. Найдём площадь круга ($S$).

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Теперь подставим найденное значение радиуса $r = \frac{1}{\pi}$ в формулу площади:

$S = \pi \cdot \left(\frac{1}{\pi}\right)^2$

Выполним вычисления:

$S = \pi \cdot \frac{1^2}{\pi^2} = \pi \cdot \frac{1}{\pi^2} = \frac{\pi}{\pi^2}$

Сократим дробь на $\pi$:

$S = \frac{1}{\pi}$ м².

Ответ: $\frac{1}{\pi}$ м².

39. Найдите длину окружности, ограничивающей круг, площадь которого равна 1.

Для решения задачи воспользуемся формулами площади круга и длины окружности.

Пусть $r$ — радиус круга.

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

По условию, площадь круга равна 1:

$S = 1$

Приравняем выражение для площади к заданному значению, чтобы найти радиус:

$\pi r^2 = 1$

Выразим отсюда $r^2$:

$r^2 = \frac{1}{\pi}$

Теперь найдем радиус $r$, взяв квадратный корень (радиус является положительной величиной):

$r = \sqrt{\frac{1}{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

Далее, найдем длину окружности $C$, которая ограничивает этот круг. Формула для длины окружности:

$C = 2 \pi r$

Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $r = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$:

$C = 2 \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

Упростим полученное выражение. Так как $\pi = (\sqrt{\pi})^2$, мы можем сократить дробь:

$C = \frac{2 \pi}{\sqrt{\pi}} = 2 \sqrt{\pi}$

Ответ: $2\sqrt{\pi}$

40. Найдите площадь сектора круга радиусом 1, если соответствующий этому сектору центральный угол равен:

а) $1^{\circ}$;

б) $5^{\circ}$;

в) $10^{\circ}$.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$, где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол в градусах. По условию задачи радиус $R = 1$. Подставив это значение в формулу, получим: $S = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot \alpha}{360} = \frac{\pi \alpha}{360}$.

а) Если центральный угол равен $\alpha = 1°$, то площадь сектора составляет $S = \frac{\pi \cdot 1}{360} = \frac{\pi}{360}$. Ответ: $\frac{\pi}{360}$.

б) Если центральный угол равен $\alpha = 5°$, то площадь сектора составляет $S = \frac{\pi \cdot 5}{360} = \frac{5\pi}{360}$. После сокращения дроби на 5 получаем $S = \frac{\pi}{72}$. Ответ: $\frac{\pi}{72}$.

в) Если центральный угол равен $\alpha = 10°$, то площадь сектора составляет $S = \frac{\pi \cdot 10}{360} = \frac{10\pi}{360}$. После сокращения дроби на 10 получаем $S = \frac{\pi}{36}$. Ответ: $\frac{\pi}{36}$.

41. Во сколько раз уменьшится площадь круга, если его радиус уменьшить в: а) 3; б) 4; в) 5 раз?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу площади круга: $S = \pi R^2$, где $S$ — площадь, а $R$ — радиус.

Площадь круга зависит от квадрата его радиуса. Это означает, что если радиус изменяется в $k$ раз, то площадь изменяется в $k^2$ раз. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Тогда его площадь $S_1 = \pi R_1^2$.

Согласно условию, радиус уменьшили в 3 раза. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{3}$.

Новая площадь круга $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R_1}{3}\right)^2 = \pi \frac{R_1^2}{3^2} = \frac{\pi R_1^2}{9}$.

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась площадь, нужно разделить первоначальную площадь на новую:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\frac{\pi R_1^2}{9}} = 9$.

Следовательно, площадь круга уменьшится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

б)

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Тогда его площадь $S_1 = \pi R_1^2$.

Радиус уменьшили в 4 раза. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{4}$.

Новая площадь круга $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R_1}{4}\right)^2 = \pi \frac{R_1^2}{4^2} = \frac{\pi R_1^2}{16}$.

Найдем отношение первоначальной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\frac{\pi R_1^2}{16}} = 16$.

Следовательно, площадь круга уменьшится в 16 раз.

Ответ: в 16 раз.

в)

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. Тогда его площадь $S_1 = \pi R_1^2$.

Радиус уменьшили в 5 раз. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{5}$.

Новая площадь круга $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R_1}{5}\right)^2 = \pi \frac{R_1^2}{5^2} = \frac{\pi R_1^2}{25}$.

Найдем отношение первоначальной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\frac{\pi R_1^2}{25}} = 25$.

Следовательно, площадь круга уменьшится в 25 раз.

Ответ: в 25 раз.

42. Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями с радиусами 2 и 3.

42. Площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями, равна разности площадей большего и меньшего кругов.

Формула площади круга: $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга.

Пусть $R$ – радиус большей окружности, а $r$ – радиус меньшей окружности. Согласно условию задачи, $R = 3$ и $r = 2$.

1. Сначала найдем площадь большего круга ($S_R$):
$S_R = \pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$

2. Затем найдем площадь меньшего круга ($S_r$):
$S_r = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$

3. Теперь вычислим площадь кругового кольца ($S_{кольца}$) как разность площадей этих двух кругов:
$S_{кольца} = S_R - S_r = 9\pi - 4\pi = 5\pi$

Можно также воспользоваться общей формулой для площади кругового кольца: $S_{кольца} = \pi(R^2 - r^2)$.
Подставив значения радиусов, получим:
$S_{кольца} = \pi(3^2 - 2^2) = \pi(9 - 4) = 5\pi$

Ответ: $5\pi$

43. Найдите площадь круга, описанного около:

a) равностороннего треугольника;

б) квадрата;

в) правильного шестиугольника со стороной 2.

Чтобы найти площадь круга, нужно сначала определить его радиус $R$, а затем использовать формулу площади $S = \pi R^2$. Радиус описанной окружности зависит от вида правильного многоугольника и длины его стороны. По условию, сторона каждого многоугольника равна 2.

а)

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По условию, сторона треугольника $a = 2$.

Подставим значение $a$ в формулу:

$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$

б)

Для квадрата со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен половине его диагонали $d$. Диагональ квадрата вычисляется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

По условию, сторона квадрата $a = 2$.

Тогда диагональ $d = 2\sqrt{2}$.

Радиус описанной окружности $R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$

Ответ: $2\pi$

в)

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Это связано с тем, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности.

По условию, сторона шестиугольника $a = 2$.

Следовательно, радиус описанной окружности $R = a = 2$.

Теперь найдем площадь круга:

$S = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$

Ответ: $4\pi$

44. Найдите площадь круга, вписанного в:

а) равносторонний треугольник;

б) квадрат;

в) правильный шестиугольник со стороной 2.

а)

Поскольку сторона равностороннего треугольника не задана, будем считать ее равной $a$. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус вписанной окружности. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен трети его высоты. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда радиус вписанной окружности: $r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь можем найти площадь вписанного круга: $S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12}$.

б)

Сторона квадрата не задана, обозначим ее как $a$. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата. Следовательно, диаметр $d = a$, а радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.

Найдем площадь вписанного круга: $S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4}$.

в)

В данном случае указана сторона правильного шестиугольника: $a=2$. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник (апофема), равен высоте равностороннего треугольника, из которых состоит шестиугольник. Сторона такого треугольника равна стороне шестиугольника, то есть $a=2$. Найдем высоту $h$ этого треугольника, которая и будет радиусом $r$ вписанной окружности: $r = h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Теперь вычислим площадь вписанного круга: $S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.

45. Найдите площадь сегмента, отсекаемого от круга радиусом 1 хордой, стягивающей дугу этого сегмента величиной:

a) $60^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $120^\circ$.

Площадь сегмента круга вычисляется как разность площади соответствующего сектора и площади равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу.Радиус круга по условию $R = 1$.Формула для площади сектора, ограниченного дугой с центральным углом $\alpha$ (в градусах), имеет вид:$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$Площадь равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, вычисляется по формуле:$S_{треуг.} = \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$Следовательно, площадь сегмента равна:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$Подставив $R=1$, получаем рабочую формулу:$S_{сегмента} = \frac{\pi \alpha}{360^\circ} - \frac{\sin \alpha}{2}$

а)Для дуги величиной $60^\circ$ центральный угол $\alpha = 60^\circ$.Найдем площадь сектора:$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{6}$Найдем площадь треугольника:$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$Теперь найдем площадь сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

б)Для дуги величиной $90^\circ$ центральный угол $\alpha = 90^\circ$.Найдем площадь сектора:$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{4}$Найдем площадь треугольника:$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$Теперь найдем площадь сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

в)Для дуги величиной $120^\circ$ центральный угол $\alpha = 120^\circ$.Найдем площадь сектора:$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{3}$Найдем площадь треугольника. Учтем, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$Теперь найдем площадь сегмента:$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$