Страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В треугольнике $ABC$ $AB = 4$, $AC = 5$, $BC = 6$. Какая из вершин треугольника расположена ближе к центру вписанной окружности?

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Чтобы определить, какая из вершин расположена ближе к центру $I$, необходимо сравнить длины отрезков $IA$, $IB$ и $IC$.

Существует два основных способа решения этой задачи.

Способ 1: Через углы треугольника.

Расстояние от вершины до центра вписанной окружности можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и угол при этой вершине. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной $A$, центром $I$ и точкой касания вписанной окружности со стороной $AB$ (назовем ее $F$). В этом треугольнике $AIF$ катет $IF$ равен радиусу $r$, а угол $IAF$ равен половине угла $A$, так как $AI$ — биссектриса.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $AIF$ имеем:
$\sin\left(\frac{\angle A}{2}\right) = \frac{IF}{IA} = \frac{r}{IA}$, откуда $IA = \frac{r}{\sin(\angle A/2)}$.
Аналогично для двух других вершин:
$IB = \frac{r}{\sin(\angle B/2)}$
$IC = \frac{r}{\sin(\angle C/2)}$

Чтобы найти наименьшее из расстояний $IA, IB, IC$, нужно найти вершину с наибольшим углом. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сравним длины сторон треугольника $ABC$:
$a = BC = 6$
$b = AC = 5$
$c = AB = 4$

Так как $a > b > c$, то и противолежащие им углы находятся в том же соотношении: $\angle A > \angle B > \angle C$.

Поскольку углы треугольника лежат в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, их половины лежат в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. В этом интервале функция синуса возрастает. Следовательно, из $\angle A > \angle B > \angle C$ следует, что $\sin(\angle A/2) > \sin(\angle B/2) > \sin(\angle C/2)$.

Так как расстояние до центра вписанной окружности обратно пропорционально синусу половины угла при вершине, наименьшему расстоянию будет соответствовать наибольшее значение синуса. Наибольшее значение у $\sin(\angle A/2)$, значит, расстояние $IA$ является наименьшим.

Способ 2: Через отрезки касательных.

Как было показано в первом способе, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $AIF$. По теореме Пифагора $IA^2 = IF^2 + AF^2 = r^2 + AF^2$.
Аналогично, $IB^2 = r^2 + BD^2$ и $IC^2 = r^2 + CE^2$, где $D$ и $E$ — точки касания на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно.

Чтобы сравнить $IA, IB, IC$, достаточно сравнить длины отрезков касательных $AF, BD, CE$. Длины этих отрезков вычисляются через полупериметр $p$ и стороны треугольника.

Найдем полупериметр:
$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.

Теперь вычислим длины отрезков от вершин до точек касания:
$AF = p - BC = p - a = 7.5 - 6 = 1.5$
$BD = p - AC = p - b = 7.5 - 5 = 2.5$
$CE = p - AB = p - c = 7.5 - 4 = 3.5$

Сравнивая длины этих отрезков, получаем: $AF < BD < CE$.
Следовательно, $AF^2 < BD^2 < CE^2$.
А значит, и $r^2+AF^2 < r^2+BD^2 < r^2+CE^2$, откуда $IA^2 < IB^2 < IC^2$.
Таким образом, $IA$ является наименьшим расстоянием.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: вершина $A$, противолежащая наибольшей стороне $BC$, расположена ближе всего к центру вписанной окружности.

Ответ: Вершина $A$.

12. Стороны треугольника равны 3, 3, 4. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Пусть стороны заданного треугольника равны $a=3$, $b=3$ и $c=4$.

Для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей нам потребуются площадь треугольника ($S$) и его полупериметр ($p$).

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+3+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{5(5-3)(5-3)(5-4)} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности ($R$) находится по формуле $R = \frac{abc}{4S}$. Подставим в нее известные значения:
$R = \frac{3 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{36}{8\sqrt{5}} = \frac{9}{2\sqrt{5}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$R = \frac{9 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{9\sqrt{5}}{10}$.

Ответ: радиус описанной окружности равен $\frac{9\sqrt{5}}{10}$.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ($r$) находится по формуле $r = \frac{S}{p}$. Подставим в нее известные значения:
$r = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: радиус вписанной окружности равен $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

13. Нарисуйте окружность и четырехугольник, вписанный в эту окружность.

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его четыре вершины лежат на этой окружности. Такая окружность называется описанной около четырехугольника.

Чтобы нарисовать окружность и вписанный в нее четырехугольник, необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью циркуля нарисовать окружность произвольного радиуса с центром в точке O.

2. Выбрать на этой окружности четыре любые несовпадающие точки. Обозначим их буквами A, B, C и D.

3. Последовательно соединить эти точки отрезками с помощью линейки, чтобы получился замкнутый многоугольник: AB, BC, CD и DA.

Полученный четырехугольник ABCD является вписанным в окружность. На рисунке ниже приведен пример такого построения.

Важным свойством любого вписанного в окружность четырехугольника является то, что сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Для четырехугольника ABCD на рисунке это означает: $ \angle A + \angle C = 180^\circ $ и $ \angle B + \angle D = 180^\circ $. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность.

Ответ: Рисунок, соответствующий условию задачи, представлен выше. На нем изображена окружность с центром в точке O и четырехугольник ABCD, все вершины которого (A, B, C, D) лежат на этой окружности, то есть он является вписанным.

14. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны:

а) $90^\circ$, $80^\circ$, $70^\circ$, $120^\circ$;

б) $50^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$, $80^\circ$?

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180°$. Это свойство вписанного четырехугольника. Проверим, выполняется ли это условие для заданных в задаче четырехугольников.

а) Даны последовательные углы четырехугольника: $90°, 80°, 70°, 120°$.

Противолежащие углы в данном случае — это первый и третий ($90°$ и $70°$), а также второй и четвертый ($80°$ и $120°$).

Найдем сумму первой пары противолежащих углов:

$90° + 70° = 160°$

Поскольку сумма $160°$ не равна $180°$, условие для описанной окружности не выполняется. Для уверенности проверим и вторую пару углов.

Сумма второй пары противолежащих углов:

$80° + 120° = 200°$

Эта сумма также не равна $180°$. Следовательно, описать окружность около этого четырехугольника нельзя.

Ответ: нельзя.

б) Даны последовательные углы четырехугольника: $50°, 110°, 120°, 80°$.

Противолежащими углами являются $50°$ и $120°$, а также $110°$ и $80°$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов:

$50° + 120° = 170°$

Так как $170° \neq 180°$, условие не выполняется. Проверим вторую пару.

Сумма второй пары противолежащих углов:

$110° + 80° = 190°$

Эта сумма также не равна $180°$. Таким образом, описать окружность около данного четырехугольника невозможно.

Ответ: нельзя.

15. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны $100^{\circ}$ и $110^{\circ}$. Найдите два других угла четырехугольника.

Для решения этой задачи используется свойство вписанного в окружность четырехугольника. Основное свойство такого четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов всегда равна $180°$.

В задаче даны два угла четырехугольника: $100°$ и $110°$. Необходимо рассмотреть, как они могут быть расположены.

Вариант 1: Данные углы являются противолежащими.

Если бы эти углы были противолежащими, их сумма должна была бы равняться $180°$. Проверим это: $100° + 110° = 210°$. Поскольку $210° \neq 180°$, эти углы не могут быть противолежащими.

Вариант 2: Данные углы являются соседними.

Так как углы не противолежащие, они должны быть соседними. Пусть один из известных углов равен $100°$. Найдем противолежащий ему угол. По свойству вписанного четырехугольника, их сумма равна $180°$. Следовательно, третий угол четырехугольника равен:

$180° - 100° = 80°$

Второй известный угол равен $110°$. Он также является соседним для угла в $100°$. Найдем четвертый угол, который будет противолежать углу в $110°$:

$180° - 110° = 70°$

Таким образом, два других угла четырехугольника равны $80°$ и $70°$.

Ответ: $80°$ и $70°$.

16. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной 2.

16. Окружность, описанная около квадрата, проходит через все его вершины. Диаметр этой окружности равен диагонали квадрата. Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ равна $d$.

Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся теоремой Пифагора. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, в которых катеты равны стороне квадрата $a$, а гипотенуза — это диагональ $d$.

По теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Отсюда диагональ $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

В условии задачи дано, что сторона квадрата $a = 2$. Подставим это значение в формулу для диагонали: $d = 2\sqrt{2}$.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине ее диаметра $d$: $R = \frac{d}{2}$.

Вычислим радиус: $R = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

17. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, стороны которого равны 3 и 4.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине длины диагонали этого прямоугольника. Центр описанной окружности находится в точке пересечения диагоналей.

Сначала найдем длину диагонали $d$ прямоугольника со сторонами $a = 3$ и $b = 4$. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, где стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

Подставим известные значения сторон в формулу:

$d^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Отсюда находим длину диагонали:

$d = \sqrt{25} = 5$

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной около него окружности. Следовательно, диаметр окружности равен 5.

Радиус $R$ окружности равен половине ее диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: 2.5

18. Можно ли вписать окружность в:
а) квадрат;
б) прямоугольник, отличный от квадрата;
в) ромб;
г) параллелограмм, отличный от ромба?

а) квадрат
Согласно свойству описанного четырехугольника, окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. То есть, для четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ должно выполняться равенство $a + c = b + d$.
Квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все стороны равны. Пусть длина стороны квадрата равна $s$. Тогда все его стороны равны $s$.
Проверим выполнение условия для квадрата: сумма одной пары противоположных сторон равна $s + s = 2s$, сумма другой пары — $s + s = 2s$.
Поскольку $2s = 2s$, условие выполняется. Следовательно, в любой квадрат можно вписать окружность. Ее центр совпадает с центром квадрата (точкой пересечения диагоналей), а радиус равен половине стороны квадрата.
Ответ: да, можно.

б) прямоугольник, отличный от квадрата
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, а все углы прямые. Пусть длины смежных сторон прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, прямоугольник не является квадратом, поэтому $a \neq b$.
Проверим условие равенства сумм противоположных сторон: $a + a = b + b$, что равносильно $2a = 2b$, и, следовательно, $a = b$.
Это равенство справедливо только для квадрата. Поскольку для нашего прямоугольника $a \neq b$, условие не выполняется.
Таким образом, в прямоугольник, отличный от квадрата, вписать окружность нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

в) ромб
Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Пусть длина стороны ромба равна $s$.
Воспользуемся тем же свойством описанного четырехугольника: $a + c = b + d$.
Для ромба все стороны равны $s$, поэтому проверка условия дает: $s + s = s + s$, или $2s = 2s$.
Равенство всегда истинно. Это означает, что в любой ромб можно вписать окружность. Ее центр лежит в точке пересечения диагоналей ромба.
Ответ: да, можно.

г) параллелограмм, отличный от ромба
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны. Пусть длины смежных сторон равны $a$ и $b$. По условию, параллелограмм не является ромбом, а значит, его смежные стороны не равны: $a \neq b$.
Проверим условие вписанной окружности: суммы противоположных сторон должны быть равны. Сумма одной пары сторон равна $a + a = 2a$, а другой — $b + b = 2b$.
Для возможности вписать окружность требуется, чтобы $2a = 2b$, что означает $a = b$.
Это условие выполняется только для ромба. Так как наш параллелограмм не ромб, то $a \neq b$, и окружность в него вписать нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

19. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны которого последовательно равны 2, 3, 4, 5?

19. Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство известно как теорема Пито о вписанном четырехугольнике.

Пусть стороны четырехугольника, заданные последовательно, равны $a, b, c$ и $d$. Согласно условию задачи, имеем:

$a = 2$

$b = 3$

$c = 4$

$d = 5$

Противолежащими сторонами в данном четырехугольнике являются пары ($a$, $c$) и ($b$, $d$).

Найдем сумму длин первой пары противолежащих сторон:

$S_1 = a + c = 2 + 4 = 6$

Теперь найдем сумму длин второй пары противолежащих сторон:

$S_2 = b + d = 3 + 5 = 8$

Сравним полученные суммы: $S_1 \neq S_2$, так как $6 \neq 8$.

Поскольку суммы длин противолежащих сторон четырехугольника не равны, то, согласно теореме Пито, в него невозможно вписать окружность.

Ответ: нет, нельзя.

20. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 2.

Пусть сторона квадрата равна $a$. По условию задачи дано, что $a = 2$.Окружность, вписанная в квадрат, касается каждой из четырех его сторон. Расстояние между двумя противоположными сторонами квадрата равно длине его стороны $a$. В то же время, это расстояние соответствует диаметру $d$ вписанной окружности. Следовательно, диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата:$d = a$.Радиус окружности $r$ равен половине ее диаметра:$r = \frac{d}{2}$.Подставив в эту формулу выражение для диаметра через сторону квадрата, получим общую формулу для радиуса окружности, вписанной в квадрат:$r = \frac{a}{2}$.Теперь подставим заданное значение стороны квадрата $a=2$ в полученную формулу:$r = \frac{2}{2} = 1$.Таким образом, радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 2, равен 1.

Ответ: 1

21. Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

Пусть стороны четырехугольника, идущие последовательно, обозначаются как $a, b, c$ и $d$. По условию задачи даны длины трех последовательных сторон: $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

Ключевым свойством четырехугольника, в который можно вписать окружность (такой четырехугольник называется описанным), является равенство сумм длин его противолежащих сторон. Это свойство (теорема Пи-то) выражается формулой:$a + c = b + d$

Нахождение четвертой стороны

Для нахождения длины четвертой стороны $d$ воспользуемся указанной теоремой. Подставим в формулу известные значения сторон:$3 + 5 = 4 + d$

Упростим левую часть уравнения:$8 = 4 + d$

Отсюда находим $d$:$d = 8 - 4 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Нахождение периметра

Периметр $P$ четырехугольника — это сумма длин всех его сторон:$P = a + b + c + d$

Подставим известные и найденную длины сторон:$P = 3 + 4 + 5 + 4 = 16$ см.

Альтернативно, периметр можно вычислить, используя свойство равенства сумм противоположных сторон:$P = (a + c) + (b + d)$Так как $a + c = 3 + 5 = 8$ см, то и $b + d = 8$ см. Следовательно:$P = 8 + 8 = 16$ см.

Ответ: 16 см.

22. Противолежащие стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 6 см и 7 см. Найдите периметр четырех-угольника.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством описанного четырехугольника. Согласно теореме Пито, если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Пусть стороны четырехугольника последовательно равны $a$, $b$, $c$ и $d$. Тогда пары противолежащих сторон — это ($a$, $c$) и ($b$, $d$). Свойство описанного четырехугольника можно записать в виде формулы:

$a + c = b + d$

В условии задачи даны длины одной пары противолежащих сторон: 6 см и 7 см. Пусть, например, $a = 6$ см и $c = 7$ см.

Найдем сумму длин этих сторон:

$a + c = 6 + 7 = 13$ см.

Так как четырехугольник описан около окружности, то сумма длин другой пары противолежащих сторон ($b$ и $d$) также будет равна 13 см:

$b + d = 13$ см.

Периметр четырехугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c + d$

Для удобства вычисления сгруппируем слагаемые по парам противолежащих сторон:

$P = (a + c) + (b + d)$

Подставим найденные значения сумм в формулу периметра:

$P = 13 + 13 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

23. Сторона ромба равна 4 см, острый угол — $45^\circ$. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть дан ромб со стороной $a = 4$ см и острым углом $\alpha = 45^\circ$. Необходимо найти радиус $r$ вписанной в него окружности.

Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности $d$. Следовательно, радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба: $r = \frac{h}{2}$.

Чтобы найти высоту, проведем ее из вершины тупого угла к противолежащей стороне. Мы получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет сторона ромба $a$, одним из катетов будет высота $h$, а угол, противолежащий этому катету, будет острым углом ромба $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{a}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$h = 4 \cdot \sin(45^\circ)$

Так как значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$h = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.

24. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 20 см. Найдите ее среднюю линию.

Пусть дана трапеция, у которой длины оснований равны $a$ и $b$, а длины боковых сторон равны $c$ и $d$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон. По условию задачи, $P = 20$ см.$P = a + b + c + d = 20$

Важным свойством любого описанного около окружности четырехугольника (в том числе и трапеции) является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:$a + b = c + d$

Подставим это соотношение в формулу периметра:$(a + b) + (c + d) = 20$$(a + b) + (a + b) = 20$$2(a + b) = 20$

Отсюда мы можем найти сумму длин оснований трапеции:$a + b = \frac{20}{2} = 10$ см.

Средняя линия трапеции, обозначим ее как $m$, по определению равна полусумме ее оснований:$m = \frac{a + b}{2}$

Теперь, зная сумму оснований, мы можем легко вычислить длину средней линии:$m = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

25. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 2?

Рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Если соединить все вершины шестиугольника с центром окружности, то шестиугольник разобьется на шесть одинаковых треугольников.
Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного n-угольника, равен $360^\circ / n$. Для шестиугольника ($n=6$) этот угол равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.
Таким образом, каждый из шести треугольников, на которые делится шестиугольник, имеет угол при вершине в центре окружности, равный $60^\circ$. Две другие стороны каждого такого треугольника являются радиусами описанной окружности ($R$), поэтому эти треугольники — равнобедренные.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Две стороны равны радиусу $R$, следовательно, третья сторона, которая является стороной шестиугольника (обозначим ее $a_6$), также равна радиусу.
Итак, мы имеем соотношение: $a_6 = R$.
По условию задачи, радиус окружности $R = 2$.
Следовательно, сторона правильного шестиугольника равна 2.
Ответ: 2

26. Сторона правильного шестиугольника равна 3. Найдите радиус описанной около него окружности.

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности. По условию задачи дано, что $a = 3$.

Если соединить все вершины правильного шестиугольника с центром описанной окружности, то шестиугольник будет разделен на шесть равных треугольников. Рассмотрим один из таких треугольников.

Две стороны этого треугольника являются радиусами описанной окружности ($R$), а третья сторона — это сторона самого шестиугольника ($a$). Таким образом, этот треугольник является равнобедренным.

Угол, образованный двумя радиусами в центре окружности, является центральным углом для стороны шестиугольника. Так как в шестиугольнике 6 равных сторон, то этот угол равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Теперь мы знаем, что наш треугольник — равнобедренный, и угол при его вершине равен $60^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны между собой и их сумма составляет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Следовательно, каждый из углов при основании равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Отсюда следует, что радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

$R = a$

Так как по условию сторона шестиугольника $a = 3$, то и радиус описанной окружности $R$ также равен 3.

Ответ: 3

27. Как изменится длина окружности, если радиус окружности:

а) увеличить в два раза;

б) уменьшить в три раза?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ – это радиус окружности. Эта формула показывает, что длина окружности прямо пропорциональна ее радиусу. Это означает, что при изменении радиуса в несколько раз, длина окружности изменится во столько же раз.

а) увеличить в два раза

Пусть начальный радиус окружности равен $r_1$, а начальная длина окружности равна $C_1$. Тогда $C_1 = 2 \pi r_1$.

Если радиус увеличить в два раза, новый радиус $r_2$ будет равен $r_2 = 2 \cdot r_1$.

Новая длина окружности $C_2$ будет вычисляться по формуле: $C_2 = 2 \pi r_2$.

Подставим значение нового радиуса $r_2$ в формулу:

$C_2 = 2 \pi (2 \cdot r_1) = 2 \cdot (2 \pi r_1)$

Так как $C_1 = 2 \pi r_1$, то мы можем записать:

$C_2 = 2 \cdot C_1$

Следовательно, длина окружности также увеличится в два раза.

Ответ: длина окружности увеличится в два раза.

б) уменьшить в три раза

Пусть начальный радиус окружности равен $r_1$, а начальная длина окружности равна $C_1$. Тогда $C_1 = 2 \pi r_1$.

Если радиус уменьшить в три раза, новый радиус $r_2$ будет равен $r_2 = \frac{r_1}{3}$.

Новая длина окружности $C_2$ будет вычисляться по формуле: $C_2 = 2 \pi r_2$.

Подставим значение нового радиуса $r_2$ в формулу:

$C_2 = 2 \pi \left(\frac{r_1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot (2 \pi r_1)$

Так как $C_1 = 2 \pi r_1$, то мы можем записать:

$C_2 = \frac{1}{3} \cdot C_1$

Следовательно, длина окружности также уменьшится в три раза.

Ответ: длина окружности уменьшится в три раза.

28. На сколько уменьшится длина окружности, если ее радиус уменьшить на:

а) 2 см;

б) 3 см;

в) 5 см?

Для решения этой задачи используется формула длины окружности: $C = 2\pi r$, где $C$ — это длина окружности, а $r$ — ее радиус.

Пусть $r_1$ — это первоначальный радиус окружности, а $C_1$ — ее первоначальная длина. Тогда $C_1 = 2\pi r_1$.

Пусть $\Delta r$ — это величина, на которую уменьшается радиус. Тогда новый радиус $r_2 = r_1 - \Delta r$.

Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (r_1 - \Delta r)$.

Уменьшение длины окружности $(\Delta C)$ равно разности между начальной и новой длиной:

$\Delta C = C_1 - C_2 = 2\pi r_1 - 2\pi (r_1 - \Delta r) = 2\pi r_1 - 2\pi r_1 + 2\pi \Delta r = 2\pi \Delta r$.

Эта формула показывает, что уменьшение длины окружности зависит только от уменьшения ее радиуса и не зависит от его первоначальной величины. Теперь мы можем применить эту формулу для каждого из подпунктов.

а) Радиус уменьшается на 2 см, то есть $\Delta r = 2$ см. Уменьшение длины окружности составит:$\Delta C = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ см.Ответ: $4\pi$ см.

б) Радиус уменьшается на 3 см, то есть $\Delta r = 3$ см. Уменьшение длины окружности составит:$\Delta C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$ см.Ответ: $6\pi$ см.

в) Радиус уменьшается на 5 см, то есть $\Delta r = 5$ см. Уменьшение длины окружности составит:$\Delta C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.Ответ: $10\pi$ см.