Страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Для данных точек A, B, C постройте точку $C'$, получающуюся из точки C параллельным переносом на вектор $\vec{AB}$.

1. Для того чтобы построить точку $C'$, которая является результатом параллельного переноса точки $C$ на вектор $\vec{AB}$, необходимо найти такую точку $C'$, чтобы вектор $\vec{CC'}$ был равен вектору $\vec{AB}$.

Равенство векторов $\vec{CC'} = \vec{AB}$ означает, что они имеют одинаковую длину ($|CC'| = |AB|$) и одинаковое направление. Геометрически это означает, что четырёхугольник $ABС'C$ является параллелограммом (при условии, что точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой). Построение точки $C'$ сводится к построению этого параллелограмма.

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком. Длина этого отрезка является длиной вектора переноса.

2. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $A$ и $B$.

3. Устанавливаем острие циркуля в точку $C$ и тем же радиусом ($AB$) проводим дугу окружности. Искомая точка $C'$ будет лежать на этой дуге.

4. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком.

5. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $A$ и $C$.

6. Устанавливаем острие циркуля в точку $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AC$, проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.

7. Точка пересечения двух построенных дуг и есть искомая точка $C'$.

Обоснование:

В построенном четырёхугольнике $ABС'C$ стороны $AB$ и $CC'$ равны по построению (шаги 2-3). Стороны $AC$ и $BC'$ также равны по построению (шаги 5-6). Поскольку у четырёхугольника $ABС'C$ противолежащие стороны попарно равны, он является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны не только равны, но и параллельны, а значит векторы, лежащие на этих сторонах, равны. Следовательно, $\vec{CC'} = \vec{AB}$. Точка $C'$ найдена верно.

Ответ: Искомая точка $C'$ является четвертой вершиной параллелограмма $ABС'C$. Для её построения необходимо провести дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$, а также дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AC$. Точка пересечения этих дуг и будет точкой $C'$.

2. Существуют ли точки, которые при параллельном переносе переходят сами в себя?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором, который называется вектором переноса. Пусть вектор переноса $\vec{v}$ имеет координаты $(a, b)$.

Пусть у нас есть некоторая точка $M$ с координатами $(x, y)$. При параллельном переносе на вектор $\vec{v}=(a, b)$ она перейдет в точку $M'$ с координатами $(x', y')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x + a$

$y' = y + b$

Вопрос состоит в том, существуют ли такие точки $M$, которые переходят сами в себя. Это означает, что образ точки $M'$ совпадает с самой точкой $M$. В координатной форме это записывается как:

$x' = x$ и $y' = y$

Подставим в эти равенства формулы параллельного переноса:

$x = x + a$

$y = y + b$

Из первого уравнения следует, что $a = 0$. Из второго уравнения следует, что $b = 0$.

Это означает, что точка может перейти сама в себя только в том случае, если обе компоненты вектора переноса равны нулю, то есть вектор переноса является нулевым вектором: $\vec{v} = (0, 0)$.

Параллельный перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием, то есть он оставляет все точки на своих местах. В этом случае абсолютно любая точка плоскости переходит сама в себя.

Если же вектор переноса ненулевой (то есть хотя бы одна из его координат, $a$ или $b$, не равна нулю), то уравнениz $x = x + a$ и $y = y + b$ не могут выполняться. Следовательно, при параллельном переносе на ненулевой вектор не существует ни одной точки, которая переходит сама в себя. Такие точки называются неподвижными точками преобразования.

Таким образом, ответ на вопрос зависит от того, какой параллельный перенос рассматривается.

Ответ: Да, такие точки существуют, но только в одном частном случае: когда параллельный перенос осуществляется на нулевой вектор. В этом случае каждая точка плоскости переходит сама в себя. Если же вектор переноса не является нулевым, то таких точек не существует.

3. Существуют ли отрезки, которые при параллельном переносе переходят сами в себя?

Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в такую точку $M_1$, что выполняется векторное равенство $\vec{MM_1} = \vec{a}$. Для ответа на вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая: когда вектор переноса является нулевым и когда он ненулевой.

Сначала рассмотрим случай, когда вектор переноса является нулевым, то есть $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае для любой точки $M$ её образ $M_1$ совпадает с ней, так как $\vec{MM_1} = \vec{0}$. Это означает, что каждая точка плоскости (или пространства) остаётся на своём месте. Такое преобразование называется тождественным. При тождественном преобразовании любая фигура переходит сама в себя. Следовательно, абсолютно любой отрезок при параллельном переносе на нулевой вектор перейдёт сам в себя. Поскольку вопрос ставится о существовании таких отрезков, этот случай уже даёт положительный ответ.

Теперь рассмотрим случай, когда вектор переноса не является нулевым, то есть $\vec{a} \neq \vec{0}$. Пусть у нас есть отрезок $AB$. Его образом при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ будет отрезок $A_1B_1$, где $A_1$ — образ точки $A$, а $B_1$ — образ точки $B$. По определению, $\vec{AA_1} = \vec{a}$ и $\vec{BB_1} = \vec{a}$.

Для того чтобы отрезок $AB$ перешёл сам в себя, необходимо, чтобы множество точек отрезка $AB$ совпадало с множеством точек отрезка $A_1B_1$. Это возможно только в том случае, если оба отрезка лежат на одной прямой. А это, в свою очередь, возможно только если вектор переноса $\vec{a}$ параллелен (коллинеарен) прямой, содержащей отрезок $AB$. Если вектор $\vec{a}$ не был бы параллелен прямой $AB$, то отрезок $A_1B_1$ лежал бы на другой прямой, параллельной $AB$, и не мог бы совпадать с $AB$.

Итак, пусть вектор $\vec{a}$ параллелен отрезку $AB$ и $\vec{a} \neq \vec{0}$. При переносе точка $A$ переходит в точку $A_1$, причём $A_1 \neq A$. Для совпадения отрезков $AB$ и $A_1B_1$ необходимо, чтобы их концы совпадали. Это означает, что множество конечных точек $\{A, B\}$ должно быть равно множеству $\{A_1, B_1\}$. Это приводит к двум вариантам. Первый вариант: $A=A_1$ и $B=B_1$. Отсюда следует, что $\vec{AA_1} = \vec{0}$ и $\vec{BB_1} = \vec{0}$, а значит, вектор переноса $\vec{a} = \vec{0}$. Это противоречит нашему предположению, что $\vec{a} \neq \vec{0}$. Второй вариант: $A=B_1$ и $B=A_1$. В этом случае образом точки $A$ является точка $B$ (то есть $\vec{AB} = \vec{a}$), а образом точки $B$ является точка $A$ (то есть $\vec{BA} = \vec{a}$). Но так как $\vec{BA} = -\vec{AB}$, получается, что $\vec{a} = -\vec{a}$, или $2\vec{a} = \vec{0}$, что снова приводит к $\vec{a} = \vec{0}$. Это опять противоречит нашему предположению.

Таким образом, при нетривиальном параллельном переносе (на ненулевой вектор) ни один отрезок конечной длины не может перейти сам в себя. Однако, поскольку в условии задачи не указано, что параллельный перенос должен быть нетривиальным, существование случая с нулевым вектором переноса позволяет дать утвердительный ответ на поставленный вопрос.

Ответ: Да, существуют. Любой отрезок переходит сам в себя при параллельном переносе на нулевой вектор (то есть при тождественном преобразовании, когда все точки остаются на месте).

4. При каком условии существует параллельный перенос, отображающий один отрезок на другой?

Параллельный перенос — это движение, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором, который называется вектором переноса. Если $\vec{a}$ — вектор переноса, то любая точка $M$ отображается на такую точку $M'$, что $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Одним из ключевых свойств параллельного переноса является сохранение расстояний между точками. Следовательно, любой отрезок при параллельном переносе отображается на отрезок, равный ему по длине. Кроме того, параллельный перенос отображает любую прямую на параллельную ей прямую (или на саму себя), а значит, отрезок отображается на параллельный ему отрезок.

Исходя из этих свойств, мы можем сформулировать необходимое условие.

Необходимость.
Пусть существует параллельный перенос, который отображает отрезок $AB$ на отрезок $CD$. Поскольку параллельный перенос сохраняет длину и параллельность, то должны выполняться два условия:
1. Длины отрезков равны: $|AB| = |CD|$.
2. Отрезки параллельны: $AB \parallel CD$.

Достаточность.
Теперь докажем, что этих двух условий достаточно. Пусть даны два отрезка $AB$ и $CD$ такие, что они равны по длине ($|AB| = |CD|$) и параллельны ($AB \parallel CD$). Поскольку отрезки параллельны, их векторы либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

Случай 1: Отрезки сонаправлены.
Это означает, что векторы, определяющие эти отрезки, равны: $\vec{AB} = \vec{CD}$.Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AC}$. При этом переносе точка $A$ по определению переходит в точку $C$. Найдем, в какую точку перейдет точка $B$. Пусть образом точки $B$ является точка $B'$. Тогда по определению переноса $\vec{BB'} = \vec{v} = \vec{AC}$. Нам нужно доказать, что точка $B'$ совпадает с точкой $D$.Из векторного равенства $\vec{AC} = \vec{BD}$ (признак параллелограмма $ACDB$) или из сложения векторов:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.Так как по условию $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$.Мы получили, что $\vec{BB'} = \vec{AC}$ и $\vec{BD} = \vec{AC}$, следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BD}$. Это означает, что точки $B'$ и $D$ совпадают.Таким образом, параллельный перенос на вектор $\vec{AC}$ отображает отрезок $AB$ на отрезок $CD$.

Случай 2: Отрезки противоположно направлены.
Это означает, что $\vec{AB} = -\vec{CD}$, или, что то же самое, $\vec{AB} = \vec{DC}$.Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AD}$. При этом переносе точка $A$ переходит в точку $D$. Найдем, в какую точку перейдет точка $B$. Пусть образом точки $B$ является точка $B'$. Тогда по определению переноса $\vec{BB'} = \vec{v} = \vec{AD}$. Нам нужно доказать, что точка $B'$ совпадает с точкой $C$.Используя векторы:$\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD}$.$\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$.Из условия $\vec{AB} = \vec{DC}$, или $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB}$.Подставим в выражение для $\vec{AD}$: $\vec{AD} = \vec{AC} - \vec{AB}$.Следовательно, $\vec{AD} = \vec{BC}$.Мы получили, что $\vec{BB'} = \vec{AD}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$, следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BC}$. Это означает, что точки $B'$ и $C$ совпадают.Таким образом, параллельный перенос на вектор $\vec{AD}$ отображает отрезок $AB$ на отрезок $CD$.

Мы доказали, что в обоих возможных случаях, если отрезки равны и параллельны, то существует параллельный перенос, отображающий один отрезок на другой.

Ответ: Параллельный перенос, отображающий один отрезок на другой, существует тогда и только тогда, когда эти отрезки равны по длине и параллельны.

5. Существуют ли прямые, которые при параллельном переносе переходят сами в себя?

Да, такие прямые существуют. Прямая переходит сама в себя при параллельном переносе в том и только в том случае, если она параллельна вектору переноса.

Рассмотрим это подробнее. Параллельный перенос определяется вектором $\vec{a}$. Это преобразование, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Пусть у нас есть прямая $l$. Возможны два случая:

1. Прямая $l$ параллельна вектору переноса $\vec{a}$. Возьмем любую точку $M$, принадлежащую прямой $l$. Ее образ, точка $M'$, определяется из условия $\vec{MM'} = \vec{a}$. Так как вектор $\vec{MM'}$ параллелен прямой $l$ (поскольку он равен $\vec{a}$), а его начальная точка $M$ лежит на этой прямой, то и его конечная точка $M'$ также должна лежать на прямой $l$. Поскольку это рассуждение справедливо для любой точки прямой $l$, вся прямая при таком переносе отображается сама на себя.

2. Прямая $l$ не параллельна вектору переноса $\vec{a}$. Возьмем любую точку $M$ на прямой $l$. Ее образ $M'$ таков, что $\vec{MM'} = \vec{a}$. Так как вектор $\vec{a}$ не параллелен прямой $l$, то точка $M'$ не может лежать на прямой $l$. В этом случае образом прямой $l$ будет другая прямая $l'$, параллельная исходной, но не совпадающая с ней. Следовательно, прямая $l$ не переходит сама в себя.

Таким образом, прямые, которые при параллельном переносе переходят сами в себя, — это в точности те прямые, которые параллельны вектору этого переноса. Если перенос является тождественным (на нулевой вектор), то любая прямая переходит сама в себя.

Ответ: Да, существуют. Это любая прямая, которая параллельна вектору, задающему параллельный перенос.

6. Даны две параллельные прямые. Сколько существует параллельных переносов, переводящих одну из них в другую?

Параллельный перенос — это геометрическое преобразование, при котором все точки фигуры или пространства сдвигаются на один и тот же вектор $\vec{v}$. Чтобы найти количество параллельных переносов, переводящих одну параллельную прямую, назовем ее $l_1$, в другую, $l_2$, необходимо определить, сколько существует векторов, осуществляющих такое преобразование.

Пусть мы выбрали некоторый параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, который переводит прямую $l_1$ в прямую $l_2$. Это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей прямой $l_1$, ее образ — точка $A'$, полученная в результате сдвига на вектор $\vec{v}$ (то есть $\vec{AA'} = \vec{v}$), — будет принадлежать прямой $l_2$.

Давайте зафиксируем одну произвольную точку $A$ на прямой $l_1$. При искомом переносе эта точка $A$ должна перейти в некоторую точку $B$, лежащую на прямой $l_2$. Вектор такого переноса, таким образом, будет равен $\vec{v} = \vec{AB}$.

Теперь возникает вопрос: сколько существует таких векторов? Точку $A$ на прямой $l_1$ мы зафиксировали. А в качестве ее образа, точки $B$, мы можем выбрать любую точку на прямой $l_2$.

Прямая состоит из бесконечного множества точек. Следовательно, мы можем выбрать точку $B$ на прямой $l_2$ бесконечным числом способов. Каждому выбору точки $B$ будет соответствовать свой, уникальный вектор переноса $\vec{v} = \vec{AB}$. Например, если $B_1$ и $B_2$ — это две разные точки на прямой $l_2$, то векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$ будут разными, а значит, они задают два разных параллельных переноса. При этом каждый из этих переносов будет переводить всю прямую $l_1$ в прямую $l_2$.

Таким образом, поскольку существует бесконечно много способов выбрать точку $B$ на прямой $l_2$ (при фиксированной точке $A$ на $l_1$), существует и бесконечно много различных векторов переноса, а следовательно, и бесконечно много параллельных переносов, переводящих одну прямую в другую.

Ответ: существует бесконечно много таких параллельных переносов.

7. Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона правильного пятиугольника переходит в его другую сторону?

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Важнейшим свойством параллельного переноса является то, что он переводит любой отрезок в отрезок, который ему параллелен и равен по длине.

Для того чтобы одна сторона правильного пятиугольника перешла в другую его сторону в результате параллельного переноса, необходимо, чтобы эти две стороны были параллельны. По определению, у правильного пятиугольника все стороны равны, поэтому условие равенства длин выполняется. Следовательно, задача сводится к вопросу: есть ли у правильного пятиугольника параллельные стороны?

Рассмотрим углы правильного пятиугольника. Величина его внутреннего угла вычисляется по формуле $ \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $. Для $n=5$ получаем $ \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ $.

1. Смежные стороны не могут быть параллельны, так как они пересекаются, образуя угол $108^\circ$.

2. Проверим несмежные стороны. Пусть у нас есть две несмежные стороны, разделенные одной другой стороной (например, стороны AB и CD пятиугольника ABCDE). Если бы они были параллельны, то при секущей BC сумма внутренних односторонних углов (углов B и C) равнялась бы $180^\circ$. Но эта сумма равна $108^\circ + 108^\circ = 216^\circ$, что не равно $180^\circ$. Таким образом, эти стороны не параллельны. Аналогично можно показать, что и другие пары несмежных сторон не параллельны.

В общем случае, у правильного n-угольника есть параллельные стороны только тогда, когда число сторон $n$ является четным. Например, у правильного шестиугольника ($n=6$, четное) есть три пары параллельных сторон. Поскольку у пятиугольника число сторон $n=5$ нечетное, у него нет параллельных сторон.

Так как в правильном пятиугольнике нет ни одной пары параллельных сторон, то не существует и параллельного переноса, который бы переводил одну его сторону в другую.

Ответ: Нет, такой параллельный перенос не существует.

8. Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона правильного шестиугольника переходит в другую его сторону?

Да, такой параллельный перенос существует.

Параллельный перенос — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка фигуры сдвигается на один и тот же вектор. Важнейшее свойство параллельного переноса заключается в том, что он переводит любой отрезок в отрезок, который ему параллелен и равен по длине.

Рассмотрим правильный шестиугольник. Все его стороны равны по определению. Для того чтобы одна сторона могла быть получена из другой путем параллельного переноса, необходимо, чтобы эти стороны были параллельны.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Пусть вершины шестиугольника обозначены последовательно $A, B, C, D, E, F$. Тогда сторона $AB$ параллельна стороне $ED$, сторона $BC$ параллельна стороне $FE$, и сторона $CD$ параллельна стороне $AF$.

Возьмем пару противолежащих сторон, например, $AB$ и $ED$. Они параллельны и равны по длине. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, который совмещает точку $A$ с точкой $E$. То есть $\vec{v} = \vec{AE}$. Нам нужно проверить, что этот же перенос совмещает точку $B$ с точкой $D$, то есть что вектор переноса из $B$ в $D$ также равен $\vec{v}$. Другими словами, нам нужно доказать равенство векторов: $\vec{AE} = \vec{BD}$.

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника. Тогда для векторов, соединяющих центр с вершинами, выполняются следующие равенства, вытекающие из симметрии фигуры: $\vec{OD} = -\vec{OA}$ и $\vec{OE} = -\vec{OB}$.

Выразим векторы $\vec{AE}$ и $\vec{BD}$ через векторы, отложенные от центра $O$:
$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$
$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB}$

Подставим известные соотношения:
$\vec{AE} = (-\vec{OB}) - \vec{OA} = -(\vec{OA} + \vec{OB})$
$\vec{BD} = (-\vec{OA}) - \vec{OB} = -(\vec{OA} + \vec{OB})$

Поскольку правые части выражений равны, то и левые части равны: $\vec{AE} = \vec{BD}$.

Это доказывает, что параллельный перенос на вектор $\vec{AE}$ отображает точку $A$ в $E$ и точку $B$ в $D$. Следовательно, он отображает сторону $AB$ на сторону $ED$. Так как обе стороны принадлежат одному и тому же шестиугольнику, то искомый параллельный перенос существует.

Ответ: да, существует.

правильного шестиугольника переходит в другую его сторону?

9. Существуют ли точки, которые при осевой симметрии переходят в себя?

Да, такие точки существуют. Чтобы понять, какие именно, давайте вспомним определение осевой симметрии.

Осевая симметрия — это преобразование плоскости относительно прямой, которую называют осью симметрии. Каждая точка плоскости переходит в симметричную ей точку относительно этой оси.

Рассмотрим два случая расположения точки относительно оси симметрии $l$:

1. Точка лежит на оси симметрии.
Пусть точка $A$ принадлежит оси симметрии $l$. По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси, при симметрии относительно этой оси переходит сама в себя. То есть, её образ $A'$ совпадает с ней самой: $A' = A$. Такие точки называются неподвижными точками преобразования.

2. Точка не лежит на оси симметрии.
Пусть точка $B$ не принадлежит оси симметрии $l$. Тогда её симметричный образ, точка $B'$, строится так, что отрезок $BB'$ перпендикулярен оси $l$ и делится ею пополам. В этом случае точки $B$ и $B'$ различны ($B \neq B'$), то есть точка $B$ не переходит в себя.

Таким образом, единственные точки, которые при осевой симметрии переходят в себя, — это точки, принадлежащие самой оси симметрии.

Ответ: Да, существуют. Это все точки, которые лежат на оси симметрии.

10. Существуют ли отрезки, которые при осевой симметрии переходят в себя?

Да, такие отрезки существуют. Осевая симметрия относительно прямой $l$ (оси симметрии) — это преобразование, при котором каждая точка $P$ переходит в точку $P'$, так что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Отрезок $AB$ переходит в себя, если его образ, отрезок $A'B'$, совпадает с исходным отрезком $AB$. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Отрезок лежит на оси симметрии. Если отрезок $AB$ полностью лежит на оси симметрии $l$, то каждая точка отрезка, включая его концы $A$ и $B$, находится на оси. По определению осевой симметрии, любая точка на оси симметрии отображается сама на себя. Следовательно, $A' = A$ и $B' = B$. Образ отрезка $AB$ — это отрезок $A'B'$, который совпадает с $AB$. Таким образом, любой отрезок, лежащий на оси симметрии, переходит в себя.

Случай 2: Отрезок перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам. Если отрезок $AB$ перпендикулярен оси симметрии $l$ и пересекается с ней в своей середине, точке $M$, то ось $l$ является серединным перпендикуляром для отрезка $AB$. В этом случае образом точки $A$ будет точка $B$, а образом точки $B$ будет точка $A$. То есть, $A' = B$ и $B' = A$. Образ отрезка $AB$ — это отрезок $A'B'$, то есть отрезок $BA$. Поскольку множество точек отрезка $AB$ совпадает с множеством точек отрезка $BA$, отрезок $AB$ переходит в себя.

Во всех остальных случаях (например, если отрезок параллелен оси симметрии, но не лежит на ней, или пересекает ее не под прямым углом) образ отрезка не совпадет с исходным отрезком.

Ответ: Да, существуют. Это отрезки, которые либо лежат на оси симметрии, либо перпендикулярны ей и делятся ею пополам.

11. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя?

Осевая симметрия относительно некоторой прямой $l$ (оси симметрии) — это преобразование плоскости, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром отрезка $AA'$. Если точка лежит на оси симметрии, она переходит сама в себя.

Прямая переходит в себя при преобразовании, если образом любой точки, принадлежащей этой прямой, является точка, также принадлежащая этой же прямой. Рассмотрим все возможные случаи расположения прямой относительно оси симметрии.

1. Прямая совпадает с осью симметрии.

Пусть прямая $m$ совпадает с осью симметрии $l$. По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси, отображается сама на себя. Так как все точки прямой $m$ лежат на оси $l$, каждая из них переходит в себя. Следовательно, вся прямая $m$ переходит сама в себя.

2. Прямая перпендикулярна оси симметрии.

Пусть прямая $m$ перпендикулярна оси симметрии $l$ и пересекает её в точке $O$. Точка $O$ лежит на оси симметрии, поэтому она переходит сама в себя. Возьмём любую другую точку $A$ на прямой $m$. Её симметричный образ $A'$ должен лежать на перпендикуляре к оси $l$, проходящем через точку $A$. Этим перпендикуляром является сама прямая $m$. Кроме того, расстояние от точки $A'$ до оси $l$ должно быть равно расстоянию от точки $A$ до оси $l$ ($A'O = AO$), причём точки $A$ и $A'$ лежат по разные стороны от оси $l$. Это означает, что точка $A'$ также принадлежит прямой $m$. Поскольку любая точка прямой $m$ отображается на точку, лежащую на той же прямой $m$, вся прямая переходит в себя.

3. Другие случаи.

Если прямая $m$ параллельна оси симметрии $l$ (и не совпадает с ней), то каждая её точка перейдёт в точку, лежащую на том же расстоянии от оси, но с другой стороны. Все эти точки-образы образуют новую прямую $m'$, параллельную $l$ и $m$. Таким образом, прямая $m$ не переходит в себя.

Если прямая $m$ пересекает ось симметрии $l$ под углом, не равным $90^\circ$, то она переходит в другую прямую $m'$, которая пересекает ось $l$ в той же точке, но под другим углом (симметричным относительно оси). Следовательно, и в этом случае прямая не переходит в себя.

Ответ: При осевой симметрии в себя переходят два типа прямых: сама ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная оси симметрии.

12. Осевая симметрия переводит точку $A$ в точку $A'$. Где находится ось симметрии?

По определению осевой симметрии, для любой точки, не лежащей на оси, ее образ симметричен ей относительно этой оси. Это означает, что ось симметрии является геометрическим местом точек, равноудаленных от исходной точки (A) и ее образа (A').

Рассмотрим отрезок, соединяющий точку A и ее образ A', то есть отрезок AA'. Согласно свойству осевой симметрии:

1. Ось симметрии перпендикулярна отрезку AA'.
2. Ось симметрии проходит через середину отрезка AA'.

Прямая, обладающая этими двумя свойствами (перпендикулярна отрезку и проходит через его середину), является серединным перпендикуляром к этому отрезку.

Если точки A и A' совпадают ($A = A'$), это означает, что точка A лежит на самой оси симметрии. В таком случае осью симметрии может быть любая прямая, проходящая через точку A. В общем случае, когда точки различны ($A \neq A'$), ось симметрии определяется однозначно.

Ответ: Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку AA'.

13. Постройте при помощи циркуля и линейки точку, симметричную данной точке относительно данной оси.

Для построения точки, симметричной данной точке относительно данной оси, используется следующий алгоритм, основанный на определении осевой симметрии.

Дано:

Точка $A$ и прямая $l$ (ось симметрии).

Построить:

Точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $l$.

Построение:

1. На прямой $l$ выбрать две произвольные различные точки $B$ и $C$.
2. Провести окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.
3. Провести окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $AC$.
4. Окружности, построенные на шагах 2 и 3, пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходная точка $A$. Вторая точка пересечения и будет искомой точкой $A'$.

Примечание: Если точка $A$ изначально лежит на прямой $l$, то построенные окружности будут касаться в точке $A$, которая и будет их единственной общей точкой. В этом случае $A' = A$, что является верным, так как любая точка на оси симметрии симметрична самой себе.

Доказательство:

По определению, две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно прямой $l$, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Докажем, что построенная точка $A'$ удовлетворяет этому условию.

Рассмотрим отрезок $AA'$.

• По построению, точки $A$ и $A'$ лежат на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $AB$. Следовательно, они равноудалены от точки $B$, то есть $AB = A'B$.
• Аналогично, точки $A$ и $A'$ лежат на окружности с центром в точке $C$ и радиусом $AC$. Следовательно, они равноудалены от точки $C$, то есть $AC = A'C$.

Мы получили, что точки $B$ и $C$, лежащие на прямой $l$, равноудалены от концов отрезка $AA'$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр.

Поскольку обе точки $B$ и $C$ принадлежат этому множеству, то прямая, проходящая через эти две точки, и является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Эта прямая — наша исходная ось $l$.

Таким образом, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$, а значит, точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $l$, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая точка $A'$ находится как вторая (отличная от $A$) точка пересечения двух окружностей: одной с центром в произвольной точке $B \in l$ и радиусом $AB$, и другой с центром в иной произвольной точке $C \in l$ и радиусом $AC$.

14. Приведите примеры фигур, имеющих осевую симметрию.

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой $l$) — это свойство геометрической фигуры, при котором для любой точки фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $l$, также принадлежит этой фигуре. Прямая $l$ называется осью симметрии. Если мысленно сложить фигуру по оси симметрии, её части полностью совпадут.

Ниже приведены развернутые примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

Геометрические фигуры:

- Окружность. Обладает бесконечным количеством осей симметрии — любая прямая, проходящая через её центр, является осью.

- Квадрат. Имеет четыре оси симметрии: две проходят по диагоналям, а две другие — через середины противоположных сторон.

- Прямоугольник. Имеет две оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон.

- Равнобедренный треугольник. Имеет одну ось симметрии, которая является высотой, медианой и биссектрисой, проведённой к основанию.

- Равносторонний треугольник. Имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину и середину противоположной стороны.

- Ромб. Имеет две оси симметрии — его диагонали.

- Равнобокая трапеция. Имеет одну ось симметрии, которая проходит через середины её оснований.

- Угол. Имеет одну ось симметрии — его биссектриса.

Буквы и цифры (в печатном начертании):

- Буквы с вертикальной осью симметрии: А, Ж, М, П, Т, Ф, Ш.

- Буквы с горизонтальной осью симметрии: В, Е, З, К, С, Э.

- Буквы с двумя осями симметрии (вертикальной и горизонтальной): Н, О, Х.

- Цифры, имеющие ось симметрии: 0 (две оси и более), 3 (горизонтальная ось), 8 (две оси).

Объекты из реального мира:

- Снежинка. Как правило, обладает шестью осями симметрии.

- Бабочка. Тело бабочки служит осью симметрии для ее крыльев.

- Лицо человека. Обладает приблизительной вертикальной симметрией.

- Листья многих деревьев (например, клёна, дуба).

- Архитектурные элементы: арки, фасады зданий.

Ответ: Примерами фигур, имеющих осевую симметрию, являются окружность, квадрат, равнобедренный треугольник, ромб, равнобокая трапеция; некоторые буквы алфавита (например, А, О, М, Т, Х); цифры (0, 3, 8); а также объекты природы, такие как снежинка и бабочка.

15. Приведите примеры фигур, не имеющих осевой симметрии.

Осевая симметрия (или зеркальная симметрия) — это свойство геометрической фигуры, при котором существует такая прямая, называемая осью симметрии, что каждая точка фигуры, симметричная любой другой точке фигуры относительно этой прямой, также принадлежит этой фигуре. Проще говоря, если фигуру мысленно согнуть по оси симметрии, то две её половинки полностью совпадут.

Фигуры, не имеющие осевой симметрии, — это те, для которых невозможно провести ни одной такой прямой. Ниже приведены примеры таких фигур.

Произвольный (косоугольный) параллелограмм

Параллелограмм, который не является ни прямоугольником, ни ромбом, не имеет осей симметрии. У него есть центр симметрии (точка пересечения диагоналей), но нет ни одной линии, которая разделила бы его на две зеркально идентичные части. Ни диагонали, ни прямые, проходящие через середины противоположных сторон, не являются осями симметрии.

Разносторонний треугольник

Это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину, и, как следствие, все три угла имеют разную величину. В отличие от равнобедренного треугольника (одна ось симметрии) и равностороннего треугольника (три оси симметрии), у разностороннего треугольника нет ни одной оси симметрии.

Произвольная трапеция

Трапеция, у которой боковые стороны не равны (то есть не равнобокая), не обладает осевой симметрией. Только у равнобокой трапеции есть одна ось симметрии, которая проходит через середины её оснований.

Спираль

Любая спиральная кривая, например, спираль Архимеда, является наглядным примером фигуры, у которой отсутствует осевая симметрия. Невозможно провести прямую, относительно которой витки спирали были бы симметричны.

Некоторые буквы алфавита

Многие буквы, как в кириллице, так и в латинице, являются асимметричными. Например, буквы Г, Р, Ь, L, J, F, P не имеют осей симметрии.

Ответ: Примерами фигур, не имеющих осевой симметрии, являются: разносторонний треугольник, произвольный параллелограмм (не ромб и не прямоугольник), произвольная трапеция (не равнобокая), спираль, буквы Г, Р, J, F.

16. Имеет ли оси симметрии:

а) ромб;

б) параллелограмм, отличный от ромба;

в) равнобедренная трапеция?

а) ромб;

Да, ромб имеет оси симметрии. Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. У ромба есть две оси симметрии, которыми являются прямые, содержащие его диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника. При перегибании ромба по любой из диагоналей его половины полностью совмещаются.

Ответ: да, имеет две оси симметрии, которыми являются его диагонали.

б) параллелограмм, отличный от ромба;

В общем случае параллелограмм, который не является ромбом или прямоугольником, не имеет осей симметрии. У такого параллелограмма есть только центр симметрии — точка пересечения его диагоналей. Отражение относительно диагонали или прямой, соединяющей середины противоположных сторон, не отобразит фигуру саму на себя, так как в общем случае у параллелограмма неравные диагонали и углы не являются прямыми.Однако, если рассматривать частный случай — прямоугольник, который не является квадратом (а значит, и не является ромбом), — то он имеет две оси симметрии. Эти оси проходят через середины его противоположных сторон. Так как в вопросе не исключается этот случай, полный ответ должен его учитывать.

Ответ: нет, в общем случае не имеет. Исключением является прямоугольник (не являющийся квадратом), который имеет две оси симметрии.

в) равнобедренная трапеция?

Да, равнобедренная (или равнобокая) трапеция имеет одну ось симметрии. Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Осью симметрии такой трапеции является прямая, проходящая через середины её оснований. Эта прямая перпендикулярна основаниям. При отражении относительно этой прямой вершины при одном основании симметрично отображаются на вершины при другом основании, а равные боковые стороны переходят друг в друга, так как углы при каждом основании равны. В результате вся фигура совмещается сама с собой.

Ответ: да, имеет одну ось симметрии, которая проходит через середины оснований трапеции.

17. Сколько осей симметрии имеет:

а) правильный треугольник;

б) квадрат;

в) окружность?

а) правильный треугольник
Осью симметрии геометрической фигуры является прямая, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. Правильный (или равносторонний) треугольник имеет три оси симметрии. Каждая ось симметрии представляет собой прямую, проходящую через вершину треугольника и середину противоположной стороны. Эти линии одновременно являются высотами, медианами и биссектрисами треугольника. Так как у треугольника три вершины, то и осей симметрии тоже три.
Ответ: 3

б) квадрат
Квадрат, как правильный четырехугольник, имеет четыре оси симметрии. Две оси симметрии проходят через середины противолежащих сторон, соединяя их. Еще две оси симметрии совпадают с диагоналями квадрата, соединяя противолежащие вершины. Итого, у квадрата $2 + 2 = 4$ оси симметрии.
Ответ: 4

в) окружность
Окружность обладает бесконечным числом осей симметрии. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Каждая такая прямая (диаметр) делит окружность на две одинаковые полуокружности, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Поскольку через одну точку (центр окружности) можно провести бесконечное множество прямых, окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.
Ответ: бесконечно много ($\infty$)

18. Сколько осей симметрии имеет правильный $n$-угольник?

Количество осей симметрии правильного $n$-угольника зависит от того, является ли число его сторон $n$ четным или нечетным. Для нахождения ответа необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $n$ — нечетное число

Если у правильного многоугольника нечетное число сторон (например, правильный треугольник при $n=3$ или правильный пятиугольник при $n=5$), то каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противолежащей ей стороны. Поскольку у $n$-угольника имеется $n$ вершин, то и количество таких осей симметрии будет равно $n$.

Случай 2: $n$ — четное число

Если у правильного многоугольника четное число сторон (например, квадрат при $n=4$ или правильный шестиугольник при $n=6$), то оси симметрии можно разделить на два типа:

1. Оси, проходящие через пары противолежащих вершин. Так как всего вершин $n$, то количество таких осей, соединяющих их попарно, равно $n/2$.

2. Оси, проходящие через середины пар противолежащих сторон. Таких осей также будет $n/2$.

Общее число осей симметрии для правильного $n$-угольника с четным числом сторон равно сумме осей обоих типов: $n/2 + n/2 = n$.

Таким образом, мы видим, что и для нечетных, и для четных значений $n$ количество осей симметрии правильного $n$-угольника всегда равно $n$.

Ответ: $n$.

19. В каком случае прямая при осевой симметрии переходит в параллельную ей прямую?

Осевая симметрия относительно прямой $l$ (оси симметрии) — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Если точка $M$ лежит на оси $l$, она переходит в саму себя. Образом прямой при осевой симметрии является прямая. Чтобы определить, в каком случае прямая $a$ переходит в параллельную ей прямую $a'$, рассмотрим все возможные варианты взаимного расположения прямой $a$ и оси симметрии $l$.

Случай 1: Прямая $a$ параллельна оси симметрии $l$ ($a \parallel l$).

Возьмём на прямой $a$ две различные точки $A$ и $B$. Их образами при симметрии относительно $l$ будут точки $A'$ и $B'$. Прямая $a'$, проходящая через точки $A'$ и $B'$, является образом прямой $a$. По определению осевой симметрии, отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны оси $l$. Поскольку $a \parallel l$, то отрезки $AA'$ и $BB'$ также перпендикулярны прямой $a$. Расстояние от любой точки прямой $a$ до оси $l$ одинаково, поэтому $|AA'| = |BB'|$. В четырёхугольнике $ABB'A'$ противоположные стороны $AA'$ и $BB'$ параллельны (как перпендикуляры к одной прямой $l$) и равны. Следовательно, $ABB'A'$ — параллелограмм. Более того, так как углы при вершинах $A$ и $B$ прямые (поскольку $AA' \perp a$ и $BB' \perp a$), этот параллелограмм является прямоугольником. Из этого следует, что сторона $A'B'$ параллельна стороне $AB$. Таким образом, прямая $a'$ (содержащая $A'B'$) параллельна прямой $a$ (содержащей $AB$).Если прямая $a$ совпадает с осью $l$, то каждая её точка переходит в себя, и прямая $a$ переходит в себя. Поскольку любая прямая считается параллельной самой себе, этот случай также удовлетворяет условию.

Случай 2: Прямая $a$ перпендикулярна оси симметрии $l$ ($a \perp l$).

Пусть прямая $a$ пересекает ось $l$ в точке $O$. Точка $O$, как лежащая на оси симметрии, переходит в саму себя. Возьмём любую другую точку $M$ на прямой $a$. Её образ $M'$ должен лежать на прямой, проходящей через $M$ и перпендикулярной оси $l$. Но этой прямой является сама прямая $a$, так как по условию $a \perp l$. Таким образом, образ любой точки прямой $a$ также лежит на прямой $a$. Это означает, что вся прямая $a$ переходит в саму себя ($a' = a$). Так как прямая параллельна самой себе, этот случай тоже является решением.

Случай 3: Прямая $a$ пересекает ось $l$, но не перпендикулярна ей.

Пусть $O$ — точка пересечения прямых $a$ и $l$. Точка $O$ является неподвижной, то есть переходит в саму себя. Это значит, что образ прямой $a$, прямая $a'$, также проходит через точку $O$. Если бы прямые $a$ и $a'$ были параллельны, то, имея общую точку, они должны были бы совпадать. Однако прямая $a$ в данном случае не совпадает со своим образом $a'$. Чтобы это показать, возьмем любую точку $M$ на прямой $a$, отличную от $O$. Отрезок $MM'$ должен быть перпендикулярен оси $l$. Если бы точка $M'$ лежала на прямой $a$, то прямые $a$ и $MM'$ пересекались бы в точке $M$. Но это невозможно, так как угол между $a$ и $l$ не является прямым, а угол между $MM'$ и $l$ — прямой. Следовательно, $M'$ не лежит на $a$, и прямые $a$ и $a'$ не совпадают. Таким образом, $a$ и $a'$ — это две разные прямые, пересекающиеся в точке $O$, и они не могут быть параллельны.

Таким образом, проанализировав все возможные случаи, можно заключить, что прямая при осевой симметрии переходит в параллельную ей прямую тогда и только тогда, когда она либо параллельна, либо перпендикулярна оси симметрии.

Ответ: Прямая при осевой симметрии переходит в параллельную ей прямую, если она параллельна оси симметрии или перпендикулярна оси симметрии.

20. Существуют ли точки, которые при центральной симметрии переходят в себя?

Да, такая точка существует. Чтобы понять, какая именно, давайте обратимся к определению центральной симметрии. Центральная симметрия относительно точки $C$ (центра симметрии) — это преобразование, при котором любая точка $A$ переходит в точку $A'$ таким образом, что точка $C$ является серединой отрезка $AA'$.

Точка, которая переходит в себя, — это так называемая неподвижная точка преобразования. Обозначим такую точку как $P$. Для нее должно выполняться условие, что ее образ $P'$ совпадает с ней самой, то есть $P' = P$.

Применим это условие к определению центральной симметрии. Если точка $P$ переходит в себя, то центр симметрии $C$ должен быть серединой отрезка $PP$. Отрезок, у которого начало и конец совпадают, вырождается в точку, его длина равна нулю. Середина такого "отрезка" совпадает с самой точкой $P$.

Следовательно, чтобы точка $C$ была серединой отрезка $PP$, она должна совпадать с точкой $P$, то есть $C = P$.

Таким образом, единственной точкой, которая при центральной симметрии переходит в себя, является сам центр симметрии. Любая другая точка $X$, не совпадающая с центром $C$, перейдет в точку $X'$, для которой $C$ будет серединой отрезка $XX'$, а значит $X' \neq X$.

Ответ: Да, существует. Это центр симметрии.

21. Существуют ли отрезки, которые при центральной симметрии переходят в себя?

Да, такие отрезки существуют. Разберем, при каком условии отрезок при центральной симметрии переходит сам в себя.

Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование, при котором каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Сам центр симметрии $O$ при этом преобразовании остается неподвижным.

Пусть у нас есть отрезок $AB$. При центральной симметрии относительно точки $O$ его концы, точки $A$ и $B$, перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно. Весь отрезок $AB$ при этом перейдет в отрезок $A'B'$.

Чтобы отрезок $AB$ перешел сам в себя, необходимо, чтобы полученный отрезок $A'B'$ совпал с исходным отрезком $AB$. Это означает, что множество точек, составляющих отрезок $A'B'$, должно быть тем же самым, что и множество точек отрезка $AB$. Для этого необходимо, чтобы концы отрезков совпадали, то есть, чтобы пара точек $\{A', B'\}$ была той же, что и пара $\{A, B\}$.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Образ точки $A$ совпадает с $A$ ($A'=A$), а образ точки $B$ совпадает с $B$ ($B'=B$).
Точка может перейти в саму себя при центральной симметрии, только если она и является центром симметрии. То есть $A=O$ и $B=O$. Это означает, что $A=B$, и отрезок вырождается в одну точку. Такой вырожденный отрезок (точка) действительно переходит в себя, если центр симметрии совпадает с этой точкой.

2. Образ точки $A$ совпадает с $B$ ($A'=B$), а образ точки $B$ совпадает с $A$ ($B'=A$).
По определению центральной симметрии, если $A'=B$, это означает, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $AB$. Аналогично, из условия $B'=A$ следует, что $O$ является серединой отрезка $BA$, что является тем же самым условием.

Таким образом, если в качестве центра симметрии выбрать середину отрезка $AB$, то конец $A$ перейдет в конец $B$, конец $B$ — в конец $A$, и весь отрезок $AB$ перейдет сам в себя. Каждая точка на одной половине отрезка (например, от $A$ до $O$) перейдет в симметричную ей точку на другой половине отрезка (от $O$ до $B$).

Следовательно, любой отрезок, для которого центр симметрии является его серединой, при такой симметрии переходит в себя.
Ответ: Да, существуют. Любой отрезок переходит в себя при центральной симметрии, если центр симметрии совпадает с серединой этого отрезка.

22. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя?

Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A'$, симметричную ей относительно прямой $l$. Прямая называется инвариантной относительно преобразования (переходит в себя), если образ любой её точки при этом преобразовании также принадлежит этой прямой.

Рассмотрим, какие прямые $m$ переходят в себя при симметрии относительно оси $l$.

Случай 1: Прямая $m$ совпадает с осью симметрии $l$

Если прямая $m$ и есть ось симметрии ($m=l$), то каждая точка, принадлежащая этой прямой, по определению осевой симметрии, переходит сама в себя. Следовательно, вся прямая $m$ как множество точек отображается на себя. Это первый тип прямых, которые переходят в себя.

Случай 2: Прямая $m$ перпендикулярна оси симметрии $l$

Пусть прямая $m$ перпендикулярна оси $l$ ($m \perp l$) и пересекает её в точке $O$.
1. Точка пересечения $O$ лежит на оси симметрии $l$, поэтому при симметрии она переходит сама в себя.
2. Возьмем любую другую точку $A$ на прямой $m$. Чтобы найти её образ $A'$, нужно из точки $A$ опустить перпендикуляр на ось $l$ и отложить на его продолжении отрезок, равный расстоянию от $A$ до оси. Но прямая $m$ уже является перпендикуляром к оси $l$. Значит, симметричная точка $A'$ также будет лежать на прямой $m$, но по другую сторону от оси $l$.
Таким образом, любая точка прямой $m$ отображается на точку, также лежащую на прямой $m$. Это означает, что вся прямая $m$ переходит в себя.

Прочие случаи

Если прямая $m$ пересекает ось $l$ под углом, отличным от $90^\circ$, то её образом будет прямая $m'$, пересекающая ось $l$ в той же точке, но симметрично отраженная относительно оси $l$. Прямые $m$ и $m'$ не будут совпадать. Если прямая $m$ параллельна оси $l$ (и не совпадает с ней), то её образом будет другая прямая $m'$, также параллельная $l$ и находящаяся на том же расстоянии от неё, но с другой стороны. В этих случаях прямая не переходит в себя.

Ответ: При осевой симметрии в себя переходят два типа прямых: сама ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная оси симметрии.