Номер 10, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Существуют ли отрезки, которые при осевой симметрии переходят в себя?

Да, такие отрезки существуют. Осевая симметрия относительно прямой $l$ (оси симметрии) — это преобразование, при котором каждая точка $P$ переходит в точку $P'$, так что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Отрезок $AB$ переходит в себя, если его образ, отрезок $A'B'$, совпадает с исходным отрезком $AB$. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Отрезок лежит на оси симметрии. Если отрезок $AB$ полностью лежит на оси симметрии $l$, то каждая точка отрезка, включая его концы $A$ и $B$, находится на оси. По определению осевой симметрии, любая точка на оси симметрии отображается сама на себя. Следовательно, $A' = A$ и $B' = B$. Образ отрезка $AB$ — это отрезок $A'B'$, который совпадает с $AB$. Таким образом, любой отрезок, лежащий на оси симметрии, переходит в себя.

Случай 2: Отрезок перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам. Если отрезок $AB$ перпендикулярен оси симметрии $l$ и пересекается с ней в своей середине, точке $M$, то ось $l$ является серединным перпендикуляром для отрезка $AB$. В этом случае образом точки $A$ будет точка $B$, а образом точки $B$ будет точка $A$. То есть, $A' = B$ и $B' = A$. Образ отрезка $AB$ — это отрезок $A'B'$, то есть отрезок $BA$. Поскольку множество точек отрезка $AB$ совпадает с множеством точек отрезка $BA$, отрезок $AB$ переходит в себя.

Во всех остальных случаях (например, если отрезок параллелен оси симметрии, но не лежит на ней, или пересекает ее не под прямым углом) образ отрезка не совпадет с исходным отрезком.

Ответ: Да, существуют. Это отрезки, которые либо лежат на оси симметрии, либо перпендикулярны ей и делятся ею пополам.