Номер 3, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Существуют ли отрезки, которые при параллельном переносе переходят сами в себя?

Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в такую точку $M_1$, что выполняется векторное равенство $\vec{MM_1} = \vec{a}$. Для ответа на вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая: когда вектор переноса является нулевым и когда он ненулевой.

Сначала рассмотрим случай, когда вектор переноса является нулевым, то есть $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае для любой точки $M$ её образ $M_1$ совпадает с ней, так как $\vec{MM_1} = \vec{0}$. Это означает, что каждая точка плоскости (или пространства) остаётся на своём месте. Такое преобразование называется тождественным. При тождественном преобразовании любая фигура переходит сама в себя. Следовательно, абсолютно любой отрезок при параллельном переносе на нулевой вектор перейдёт сам в себя. Поскольку вопрос ставится о существовании таких отрезков, этот случай уже даёт положительный ответ.

Теперь рассмотрим случай, когда вектор переноса не является нулевым, то есть $\vec{a} \neq \vec{0}$. Пусть у нас есть отрезок $AB$. Его образом при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ будет отрезок $A_1B_1$, где $A_1$ — образ точки $A$, а $B_1$ — образ точки $B$. По определению, $\vec{AA_1} = \vec{a}$ и $\vec{BB_1} = \vec{a}$.

Для того чтобы отрезок $AB$ перешёл сам в себя, необходимо, чтобы множество точек отрезка $AB$ совпадало с множеством точек отрезка $A_1B_1$. Это возможно только в том случае, если оба отрезка лежат на одной прямой. А это, в свою очередь, возможно только если вектор переноса $\vec{a}$ параллелен (коллинеарен) прямой, содержащей отрезок $AB$. Если вектор $\vec{a}$ не был бы параллелен прямой $AB$, то отрезок $A_1B_1$ лежал бы на другой прямой, параллельной $AB$, и не мог бы совпадать с $AB$.

Итак, пусть вектор $\vec{a}$ параллелен отрезку $AB$ и $\vec{a} \neq \vec{0}$. При переносе точка $A$ переходит в точку $A_1$, причём $A_1 \neq A$. Для совпадения отрезков $AB$ и $A_1B_1$ необходимо, чтобы их концы совпадали. Это означает, что множество конечных точек $\{A, B\}$ должно быть равно множеству $\{A_1, B_1\}$. Это приводит к двум вариантам. Первый вариант: $A=A_1$ и $B=B_1$. Отсюда следует, что $\vec{AA_1} = \vec{0}$ и $\vec{BB_1} = \vec{0}$, а значит, вектор переноса $\vec{a} = \vec{0}$. Это противоречит нашему предположению, что $\vec{a} \neq \vec{0}$. Второй вариант: $A=B_1$ и $B=A_1$. В этом случае образом точки $A$ является точка $B$ (то есть $\vec{AB} = \vec{a}$), а образом точки $B$ является точка $A$ (то есть $\vec{BA} = \vec{a}$). Но так как $\vec{BA} = -\vec{AB}$, получается, что $\vec{a} = -\vec{a}$, или $2\vec{a} = \vec{0}$, что снова приводит к $\vec{a} = \vec{0}$. Это опять противоречит нашему предположению.

Таким образом, при нетривиальном параллельном переносе (на ненулевой вектор) ни один отрезок конечной длины не может перейти сам в себя. Однако, поскольку в условии задачи не указано, что параллельный перенос должен быть нетривиальным, существование случая с нулевым вектором переноса позволяет дать утвердительный ответ на поставленный вопрос.

Ответ: Да, существуют. Любой отрезок переходит сам в себя при параллельном переносе на нулевой вектор (то есть при тождественном преобразовании, когда все точки остаются на месте).