Номер 32, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Для векторов $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(8; 4)$ найдите число $t$, при котором вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{a} - t\vec{b}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$. Нам нужно найти такое число $t$, при котором вектор $\vec{a}$ будет перпендикулярен вектору $\vec{a} - t\vec{b}$.

Условие перпендикулярности можно записать в виде уравнения:

$\vec{a} \cdot (\vec{a} - t\vec{b}) = 0$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} - t\vec{b}$.

1. Умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр $t$:

$t\vec{b} = t(8; 4) = (8t; 4t)$

2. Вычтем из вектора $\vec{a}$ полученный вектор $t\vec{b}$:

$\vec{c} = \vec{a} - t\vec{b} = (2; 6) - (8t; 4t) = (2 - 8t; 6 - 4t)$

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{c}(2 - 8t; 6 - 4t)$. Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot (2 - 8t) + 6 \cdot (6 - 4t)$

Приравняем это выражение к нулю и решим полученное уравнение относительно $t$:

$2(2 - 8t) + 6(6 - 4t) = 0$

Раскроем скобки:

$4 - 16t + 36 - 24t = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4 + 36) - (16t + 24t) = 0$

$40 - 40t = 0$

Перенесем слагаемое с $t$ в правую часть:

$40 = 40t$

Найдем $t$:

$t = \frac{40}{40} = 1$

Ответ: 1