Номер 4, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. При каком условии существует параллельный перенос, отображающий один отрезок на другой?

Параллельный перенос — это движение, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором, который называется вектором переноса. Если $\vec{a}$ — вектор переноса, то любая точка $M$ отображается на такую точку $M'$, что $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Одним из ключевых свойств параллельного переноса является сохранение расстояний между точками. Следовательно, любой отрезок при параллельном переносе отображается на отрезок, равный ему по длине. Кроме того, параллельный перенос отображает любую прямую на параллельную ей прямую (или на саму себя), а значит, отрезок отображается на параллельный ему отрезок.

Исходя из этих свойств, мы можем сформулировать необходимое условие.

Необходимость.
Пусть существует параллельный перенос, который отображает отрезок $AB$ на отрезок $CD$. Поскольку параллельный перенос сохраняет длину и параллельность, то должны выполняться два условия:
1. Длины отрезков равны: $|AB| = |CD|$.
2. Отрезки параллельны: $AB \parallel CD$.

Достаточность.
Теперь докажем, что этих двух условий достаточно. Пусть даны два отрезка $AB$ и $CD$ такие, что они равны по длине ($|AB| = |CD|$) и параллельны ($AB \parallel CD$). Поскольку отрезки параллельны, их векторы либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

Случай 1: Отрезки сонаправлены.
Это означает, что векторы, определяющие эти отрезки, равны: $\vec{AB} = \vec{CD}$.Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AC}$. При этом переносе точка $A$ по определению переходит в точку $C$. Найдем, в какую точку перейдет точка $B$. Пусть образом точки $B$ является точка $B'$. Тогда по определению переноса $\vec{BB'} = \vec{v} = \vec{AC}$. Нам нужно доказать, что точка $B'$ совпадает с точкой $D$.Из векторного равенства $\vec{AC} = \vec{BD}$ (признак параллелограмма $ACDB$) или из сложения векторов:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.Так как по условию $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$.Мы получили, что $\vec{BB'} = \vec{AC}$ и $\vec{BD} = \vec{AC}$, следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BD}$. Это означает, что точки $B'$ и $D$ совпадают.Таким образом, параллельный перенос на вектор $\vec{AC}$ отображает отрезок $AB$ на отрезок $CD$.

Случай 2: Отрезки противоположно направлены.
Это означает, что $\vec{AB} = -\vec{CD}$, или, что то же самое, $\vec{AB} = \vec{DC}$.Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AD}$. При этом переносе точка $A$ переходит в точку $D$. Найдем, в какую точку перейдет точка $B$. Пусть образом точки $B$ является точка $B'$. Тогда по определению переноса $\vec{BB'} = \vec{v} = \vec{AD}$. Нам нужно доказать, что точка $B'$ совпадает с точкой $C$.Используя векторы:$\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD}$.$\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$.Из условия $\vec{AB} = \vec{DC}$, или $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB}$.Подставим в выражение для $\vec{AD}$: $\vec{AD} = \vec{AC} - \vec{AB}$.Следовательно, $\vec{AD} = \vec{BC}$.Мы получили, что $\vec{BB'} = \vec{AD}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$, следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BC}$. Это означает, что точки $B'$ и $C$ совпадают.Таким образом, параллельный перенос на вектор $\vec{AD}$ отображает отрезок $AB$ на отрезок $CD$.

Мы доказали, что в обоих возможных случаях, если отрезки равны и параллельны, то существует параллельный перенос, отображающий один отрезок на другой.

Ответ: Параллельный перенос, отображающий один отрезок на другой, существует тогда и только тогда, когда эти отрезки равны по длине и параллельны.