Номер 8, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона правильного шестиугольника переходит в другую его сторону?

Да, такой параллельный перенос существует.

Параллельный перенос — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка фигуры сдвигается на один и тот же вектор. Важнейшее свойство параллельного переноса заключается в том, что он переводит любой отрезок в отрезок, который ему параллелен и равен по длине.

Рассмотрим правильный шестиугольник. Все его стороны равны по определению. Для того чтобы одна сторона могла быть получена из другой путем параллельного переноса, необходимо, чтобы эти стороны были параллельны.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Пусть вершины шестиугольника обозначены последовательно $A, B, C, D, E, F$. Тогда сторона $AB$ параллельна стороне $ED$, сторона $BC$ параллельна стороне $FE$, и сторона $CD$ параллельна стороне $AF$.

Возьмем пару противолежащих сторон, например, $AB$ и $ED$. Они параллельны и равны по длине. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, который совмещает точку $A$ с точкой $E$. То есть $\vec{v} = \vec{AE}$. Нам нужно проверить, что этот же перенос совмещает точку $B$ с точкой $D$, то есть что вектор переноса из $B$ в $D$ также равен $\vec{v}$. Другими словами, нам нужно доказать равенство векторов: $\vec{AE} = \vec{BD}$.

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника. Тогда для векторов, соединяющих центр с вершинами, выполняются следующие равенства, вытекающие из симметрии фигуры: $\vec{OD} = -\vec{OA}$ и $\vec{OE} = -\vec{OB}$.

Выразим векторы $\vec{AE}$ и $\vec{BD}$ через векторы, отложенные от центра $O$:
$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$
$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB}$

Подставим известные соотношения:
$\vec{AE} = (-\vec{OB}) - \vec{OA} = -(\vec{OA} + \vec{OB})$
$\vec{BD} = (-\vec{OA}) - \vec{OB} = -(\vec{OA} + \vec{OB})$

Поскольку правые части выражений равны, то и левые части равны: $\vec{AE} = \vec{BD}$.

Это доказывает, что параллельный перенос на вектор $\vec{AE}$ отображает точку $A$ в $E$ и точку $B$ в $D$. Следовательно, он отображает сторону $AB$ на сторону $ED$. Так как обе стороны принадлежат одному и тому же шестиугольнику, то искомый параллельный перенос существует.

Ответ: да, существует.