Номер 13, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Постройте при помощи циркуля и линейки точку, симметричную данной точке относительно данной оси.

Для построения точки, симметричной данной точке относительно данной оси, используется следующий алгоритм, основанный на определении осевой симметрии.

Дано:

Точка $A$ и прямая $l$ (ось симметрии).

Построить:

Точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $l$.

Построение:

1. На прямой $l$ выбрать две произвольные различные точки $B$ и $C$.
2. Провести окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.
3. Провести окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $AC$.
4. Окружности, построенные на шагах 2 и 3, пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходная точка $A$. Вторая точка пересечения и будет искомой точкой $A'$.

Примечание: Если точка $A$ изначально лежит на прямой $l$, то построенные окружности будут касаться в точке $A$, которая и будет их единственной общей точкой. В этом случае $A' = A$, что является верным, так как любая точка на оси симметрии симметрична самой себе.

Доказательство:

По определению, две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно прямой $l$, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Докажем, что построенная точка $A'$ удовлетворяет этому условию.

Рассмотрим отрезок $AA'$.

• По построению, точки $A$ и $A'$ лежат на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $AB$. Следовательно, они равноудалены от точки $B$, то есть $AB = A'B$.
• Аналогично, точки $A$ и $A'$ лежат на окружности с центром в точке $C$ и радиусом $AC$. Следовательно, они равноудалены от точки $C$, то есть $AC = A'C$.

Мы получили, что точки $B$ и $C$, лежащие на прямой $l$, равноудалены от концов отрезка $AA'$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр.

Поскольку обе точки $B$ и $C$ принадлежат этому множеству, то прямая, проходящая через эти две точки, и является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Эта прямая — наша исходная ось $l$.

Таким образом, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$, а значит, точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $l$, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая точка $A'$ находится как вторая (отличная от $A$) точка пересечения двух окружностей: одной с центром в произвольной точке $B \in l$ и радиусом $AB$, и другой с центром в иной произвольной точке $C \in l$ и радиусом $AC$.