Номер 11, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя?

Осевая симметрия относительно некоторой прямой $l$ (оси симметрии) — это преобразование плоскости, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром отрезка $AA'$. Если точка лежит на оси симметрии, она переходит сама в себя.

Прямая переходит в себя при преобразовании, если образом любой точки, принадлежащей этой прямой, является точка, также принадлежащая этой же прямой. Рассмотрим все возможные случаи расположения прямой относительно оси симметрии.

1. Прямая совпадает с осью симметрии.

Пусть прямая $m$ совпадает с осью симметрии $l$. По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси, отображается сама на себя. Так как все точки прямой $m$ лежат на оси $l$, каждая из них переходит в себя. Следовательно, вся прямая $m$ переходит сама в себя.

2. Прямая перпендикулярна оси симметрии.

Пусть прямая $m$ перпендикулярна оси симметрии $l$ и пересекает её в точке $O$. Точка $O$ лежит на оси симметрии, поэтому она переходит сама в себя. Возьмём любую другую точку $A$ на прямой $m$. Её симметричный образ $A'$ должен лежать на перпендикуляре к оси $l$, проходящем через точку $A$. Этим перпендикуляром является сама прямая $m$. Кроме того, расстояние от точки $A'$ до оси $l$ должно быть равно расстоянию от точки $A$ до оси $l$ ($A'O = AO$), причём точки $A$ и $A'$ лежат по разные стороны от оси $l$. Это означает, что точка $A'$ также принадлежит прямой $m$. Поскольку любая точка прямой $m$ отображается на точку, лежащую на той же прямой $m$, вся прямая переходит в себя.

3. Другие случаи.

Если прямая $m$ параллельна оси симметрии $l$ (и не совпадает с ней), то каждая её точка перейдёт в точку, лежащую на том же расстоянии от оси, но с другой стороны. Все эти точки-образы образуют новую прямую $m'$, параллельную $l$ и $m$. Таким образом, прямая $m$ не переходит в себя.

Если прямая $m$ пересекает ось симметрии $l$ под углом, не равным $90^\circ$, то она переходит в другую прямую $m'$, которая пересекает ось $l$ в той же точке, но под другим углом (симметричным относительно оси). Следовательно, и в этом случае прямая не переходит в себя.

Ответ: При осевой симметрии в себя переходят два типа прямых: сама ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная оси симметрии.