Номер 5, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Существуют ли прямые, которые при параллельном переносе переходят сами в себя?

Да, такие прямые существуют. Прямая переходит сама в себя при параллельном переносе в том и только в том случае, если она параллельна вектору переноса.

Рассмотрим это подробнее. Параллельный перенос определяется вектором $\vec{a}$. Это преобразование, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Пусть у нас есть прямая $l$. Возможны два случая:

1. Прямая $l$ параллельна вектору переноса $\vec{a}$. Возьмем любую точку $M$, принадлежащую прямой $l$. Ее образ, точка $M'$, определяется из условия $\vec{MM'} = \vec{a}$. Так как вектор $\vec{MM'}$ параллелен прямой $l$ (поскольку он равен $\vec{a}$), а его начальная точка $M$ лежит на этой прямой, то и его конечная точка $M'$ также должна лежать на прямой $l$. Поскольку это рассуждение справедливо для любой точки прямой $l$, вся прямая при таком переносе отображается сама на себя.

2. Прямая $l$ не параллельна вектору переноса $\vec{a}$. Возьмем любую точку $M$ на прямой $l$. Ее образ $M'$ таков, что $\vec{MM'} = \vec{a}$. Так как вектор $\vec{a}$ не параллелен прямой $l$, то точка $M'$ не может лежать на прямой $l$. В этом случае образом прямой $l$ будет другая прямая $l'$, параллельная исходной, но не совпадающая с ней. Следовательно, прямая $l$ не переходит сама в себя.

Таким образом, прямые, которые при параллельном переносе переходят сами в себя, — это в точности те прямые, которые параллельны вектору этого переноса. Если перенос является тождественным (на нулевой вектор), то любая прямая переходит сама в себя.

Ответ: Да, существуют. Это любая прямая, которая параллельна вектору, задающему параллельный перенос.