Номер 1, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Для данных точек A, B, C постройте точку $C'$, получающуюся из точки C параллельным переносом на вектор $\vec{AB}$.

1. Для того чтобы построить точку $C'$, которая является результатом параллельного переноса точки $C$ на вектор $\vec{AB}$, необходимо найти такую точку $C'$, чтобы вектор $\vec{CC'}$ был равен вектору $\vec{AB}$.

Равенство векторов $\vec{CC'} = \vec{AB}$ означает, что они имеют одинаковую длину ($|CC'| = |AB|$) и одинаковое направление. Геометрически это означает, что четырёхугольник $ABС'C$ является параллелограммом (при условии, что точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой). Построение точки $C'$ сводится к построению этого параллелограмма.

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком. Длина этого отрезка является длиной вектора переноса.

2. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $A$ и $B$.

3. Устанавливаем острие циркуля в точку $C$ и тем же радиусом ($AB$) проводим дугу окружности. Искомая точка $C'$ будет лежать на этой дуге.

4. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком.

5. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $A$ и $C$.

6. Устанавливаем острие циркуля в точку $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AC$, проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.

7. Точка пересечения двух построенных дуг и есть искомая точка $C'$.

Обоснование:

В построенном четырёхугольнике $ABС'C$ стороны $AB$ и $CC'$ равны по построению (шаги 2-3). Стороны $AC$ и $BC'$ также равны по построению (шаги 5-6). Поскольку у четырёхугольника $ABС'C$ противолежащие стороны попарно равны, он является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны не только равны, но и параллельны, а значит векторы, лежащие на этих сторонах, равны. Следовательно, $\vec{CC'} = \vec{AB}$. Точка $C'$ найдена верно.

Ответ: Искомая точка $C'$ является четвертой вершиной параллелограмма $ABС'C$. Для её построения необходимо провести дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$, а также дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AC$. Точка пересечения этих дуг и будет точкой $C'$.