Номер 31, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Для векторов $ \vec{a}(2; 6) $, $ \vec{b}(8; 4) $ найдите угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ воспользуемся формулой, связывающей скалярное произведение векторов и косинус угла между ними. Косинус угла равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин (модулей):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 16 + 24 = 40$

2. Вычислим длину (модуль) вектора $\vec{a}$. Длина вектора с координатами $(x_1; y_1)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$.

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

3. Вычислим длину (модуль) вектора $\vec{b}$.

$|\vec{b}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами.

$\cos(\alpha) = \frac{40}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{80}} = \frac{40}{\sqrt{40 \cdot 80}} = \frac{40}{\sqrt{3200}}$

Упростим выражение в знаменателе:

$\sqrt{3200} = \sqrt{1600 \cdot 2} = \sqrt{1600} \cdot \sqrt{2} = 40\sqrt{2}$

Теперь найдем значение косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{40}{40\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

5. Найдем угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.