Страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Стороны правильного треугольника $ABC$ равны $1$. Найдите длину вектора $\vec{AB} + \vec{AC}$.

Поскольку треугольник $ABC$ — правильный, все его стороны равны 1, и все углы равны $60^\circ$. Нам нужно найти длину вектора, который является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Длина вектора $\vec{v}$ обозначается как $|\vec{v}|$.

Способ 1: Использование правила параллелограмма (или медианы)

Сумму двух векторов, выходящих из одной точки, можно найти по правилу параллелограмма. Достроим на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ как на сторонах параллелограмм $ABDC$. Тогда сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AC}$ будет равна вектору диагонали $\vec{AD}$. Нам нужно найти длину этой диагонали, то есть $|\vec{AD}|$.

Более простой вариант этого метода — использование правила медианы. Сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равна удвоенному вектору медианы $\vec{AM}$, где $M$ — середина стороны $BC$.

$\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$

Следовательно, длина искомого вектора равна:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = |2\vec{AM}| = 2 \cdot |\vec{AM}|$

В правильном треугольнике медиана $AM$ также является и высотой. Мы можем найти ее длину из прямоугольного треугольника $AMC$. В этом треугольнике гипотенуза $AC$ равна 1, а катет $MC$ равен половине стороны $BC$, то есть $MC = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора:

$|AM|^2 + |MC|^2 = |AC|^2$

$|AM|^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$

$|AM|^2 + \frac{1}{4} = 1$

$|AM|^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$|\vec{AM}| = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем длину суммарного вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 \cdot |\vec{AM}| = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Способ 2: Использование скалярного произведения

Длину вектора можно найти через его скалярный квадрат: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC})$

Раскрывая скобки по правилам скалярного произведения, получаем:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + |\vec{AC}|^2$

Из условия задачи мы знаем, что $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{AC}| = 1$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ вычисляется по формуле:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $BAC$ правильного треугольника, который равен $60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 1^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда находим искомую длину вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

17. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора $\vec{AB} - \vec{AC}$.

Для нахождения длины вектора, который является разностью векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, можно воспользоваться геометрическим правилом вычитания векторов.

Согласно правилу вычитания векторов, отложенных от одной точки (в данном случае от точки A), вектор разности $\vec{AB} - \vec{AC}$ направлен от конца вычитаемого вектора ($\vec{AC}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AB}$). Это означает, что вектор разности совпадает с вектором $\vec{CB}$.

Математически это записывается так:

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Следовательно, задача сводится к нахождению длины (модуля) вектора $\vec{CB}$, которая равна длине стороны CB треугольника ABC.

По условию задачи, треугольник ABC является правильным, то есть равносторонним. Длина каждой его стороны равна 3. Таким образом, длина стороны CB также равна 3.

$|\vec{CB}| = 3$

Отсюда следует, что искомая длина вектора $\vec{AB} - \vec{AC}$ тоже равна 3.

В качестве проверки можно использовать алгебраический метод, основанный на скалярном произведении. Квадрат длины вектора разности равен:

$|\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Так как треугольник правильный, угол $\angle BAC$ равен 60°.

Подставляем известные значения:

$|\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(60^{\circ}) = 9 + 9 - 18 \cdot \frac{1}{2} = 18 - 9 = 9$

Тогда длина вектора равна:

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{9} = 3$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3

18. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Скалярное произведение двух векторов по определению равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выглядит так:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$

где $|\vec{AB}|$ и $|\vec{AC}|$ — это длины векторов, а $\alpha$ — это угол между ними.

Из условия задачи известно, что треугольник $ABC$ — правильный. Это означает, что все его стороны равны и все углы равны.

Длина стороны треугольника равна 3. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из вершины $A$ и идут вдоль сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, их длины равны длине сторон треугольника:

$|\vec{AB}| = 3$

$|\vec{AC}| = 3$

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол при их общем начале, то есть угол $\angle BAC$. В правильном треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\alpha = 60^\circ$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)$

Косинус $60^\circ$ является табличным значением: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Вычислим результат:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5

19. Стороны правильного треугольника $ABC$ равны $3$, $O$ — центр описанной окружности. Найдите длину вектора $\overline{OA} + \overline{OB}$.

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, его центр описанной окружности $O$ совпадает с его центроидом (точкой пересечения медиан, биссектрис и высот).

Для центроида $O$ любого треугольника $ABC$ выполняется свойство, что сумма векторов, проведенных из центроида к вершинам, равна нулевому вектору:$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$.

Из этого векторного равенства можно выразить сумму векторов, которую нам нужно найти:$\vec{OA} + \vec{OB} = -\vec{OC}$.

Длина (или модуль) вектора-суммы будет равна длине вектора $-\vec{OC}$. Длины противоположных векторов равны, поэтому:$|\vec{OA} + \vec{OB}| = |-\vec{OC}| = |\vec{OC}|$.

Длина вектора $\vec{OC}$ — это расстояние от центра описанной окружности $O$ до вершины $C$, что по определению является радиусом $R$ этой окружности. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса описанной окружности правильного треугольника.

Радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По условию задачи, сторона треугольника $a = 3$. Подставим это значение в формулу для радиуса:$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Следовательно, длина вектора $\vec{OA} + \vec{OB}$ равна радиусу описанной окружности, то есть $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

20. Стороны правильного треугольника ABC равны 3, O — центр описанной окружности. Найдите длину вектора $\overline{OA} - \overline{OB}$.

Для нахождения длины вектора $\vec{OA} - \vec{OB}$ воспользуемся геометрическим правилом вычитания векторов. Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных от одной точки, есть вектор, соединяющий их концы, направленный от конца вектора $\vec{b}$ (вычитаемого) к концу вектора $\vec{a}$ (уменьшаемого).

В данном случае векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ отложены от одной точки $O$. Следовательно, их разность $\vec{OA} - \vec{OB}$ представляет собой вектор, начало которого находится в точке $B$, а конец — в точке $A$. Таким образом, мы получаем вектор $\vec{BA}$: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$

Длина вектора $\vec{BA}$ равна длине отрезка $BA$. По условию, треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), и длина его стороны равна 3. Отрезок $BA$ — это одна из сторон данного треугольника.

Следовательно, длина отрезка $BA$ равна 3. Это означает, что длина вектора $\vec{BA}$ также равна 3. $|\vec{OA} - \vec{OB}| = |\vec{BA}| = 3$

Ответ: 3

21. Стороны правильного треугольника ABC равны 3, O — центр описанной окружности. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними. Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ нам необходимо найти их длины и угол между ними, $\angle AOB$.

1. Нахождение длин векторов.

Поскольку O — центр описанной окружности правильного треугольника ABC, а A и B — его вершины, то длины векторов $|\vec{OA}|$ и $|\vec{OB}|$ равны радиусу $R$ этой окружности. Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По условию, сторона треугольника $a = 3$. Подставим это значение в формулу:

$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = R = \sqrt{3}$.

2. Нахождение угла между векторами.

Угол $\angle AOB$ — это центральный угол, опирающийся на сторону AB правильного треугольника, вписанного в окружность. Так как все стороны правильного треугольника равны, они стягивают равные дуги. Полная окружность составляет $360^\circ$, поэтому угол, соответствующий одной стороне, равен:

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

3. Вычисление скалярного произведения.

Теперь, зная длины векторов и угол между ними, мы можем вычислить их скалярное произведение:

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(\angle AOB) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$.

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-\frac{1}{2}$.

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1.5$.

Ответ: -1.5

22. Стороны правильного треугольника $ABC$ равны 3, $O$ — центр описанной окружности. Найдите длину вектора $\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC}$.

В правильном (равностороннем) треугольнике центр описанной окружности $O$ совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Такая точка называется центроидом или центром масс треугольника.

Существует свойство центроида, согласно которому сумма векторов, проведенных из центроида к вершинам треугольника, равна нулевому вектору. То есть, для треугольника $ABC$ и его центроида $O$ всегда выполняется равенство:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$

Задача просит найти длину (модуль) вектора, который является суммой векторов $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Длина нулевого вектора равна нулю.

$\left|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\right| = \left|\vec{0}\right| = 0$

Таким образом, длина стороны треугольника, равная 3, является избыточной информацией для решения данной задачи.

Ответ: 0

23. Для точек $A(2; 4)$, $B(8; 6)$ найдите координаты вектора $\vec{AB}$.

Для того чтобы найти координаты вектора $\vec{AB}$, необходимо из координат его конечной точки (точки B) вычесть соответствующие координаты его начальной точки (точки A).
Общая формула для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A; y_A)$ и концом в точке $B(x_B; y_B)$ имеет вид:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$
В условии задачи даны координаты точек: $A(2; 4)$ и $B(8; 6)$.
Подставим координаты точек A и B в формулу для нахождения координат вектора $\vec{AB}$.
Вычислим координату по оси абсцисс (x):
$x_{\vec{AB}} = 8 - 2 = 6$
Вычислим координату по оси ординат (y):
$y_{\vec{AB}} = 6 - 4 = 2$
Следовательно, искомые координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(6; 2)$.
Ответ: $(6; 2)$

24. Вектор $\overrightarrow{AB}$ с началом в точке $A(3; 6)$ имеет координаты $(9; 3)$. Найдите координаты точки B.

Чтобы найти координаты конца вектора, зная координаты его начала и самого вектора, необходимо к координатам начальной точки прибавить соответствующие координаты вектора.

Пусть точка A имеет координаты $(x_A; y_A)$, а точка B — $(x_B; y_B)$. Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Из условия задачи нам даны:

Координаты начальной точки $A(3; 6)$, то есть $x_A = 3$ и $y_A = 6$.

Координаты вектора $\vec{AB} = (9; 3)$.

Для нахождения координат точки B $(x_B; y_B)$ мы можем составить систему уравнений:

$x_B - x_A = 9$

$y_B - y_A = 3$

Выразим из этих уравнений $x_B$ и $y_B$:

$x_B = x_A + 9$

$y_B = y_A + 3$

Теперь подставим известные значения координат точки A:

$x_B = 3 + 9 = 12$

$y_B = 6 + 3 = 9$

Таким образом, координаты точки B равны (12; 9).

Ответ: (12; 9)

25. Вектор $ \vec{AB} $ с концом в точке $ B(5; 4) $ имеет координаты $ (3; 1) $. Найдите координаты точки А.

Для нахождения координат начала вектора, зная его координаты и координаты его конца, воспользуемся определением координат вектора. Если вектор $\vec{AB}$ задан начальной точкой $A(x_A; y_A)$ и конечной точкой $B(x_B; y_B)$, то его координаты вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

По условию задачи нам известны координаты вектора $\vec{AB} = (3; 1)$ и координаты его конечной точки $B(5; 4)$. Обозначим искомые координаты начальной точки $A$ как $(x_A; y_A)$.

Подставим известные значения в формулу для координат вектора:

$(3; 1) = (5 - x_A; 4 - y_A)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Это дает нам систему из двух уравнений:

$3 = 5 - x_A$

$1 = 4 - y_A$

Решим каждое уравнение, чтобы найти неизвестные координаты $x_A$ и $y_A$.

Из первого уравнения выразим $x_A$:

$x_A = 5 - 3$

$x_A = 2$

Из второго уравнения выразим $y_A$:

$y_A = 4 - 1$

$y_A = 3$

Следовательно, координаты точки $A$ равны $(2; 3)$.

Для проверки можно вычислить координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(2; 3)$ и $B(5; 4)$: $\vec{AB} = (5-2; 4-3) = (3; 1)$. Полученные координаты совпадают с данными в условии, значит, решение верное.

Ответ: Координаты точки A равны (2; 3).

26. Для векторов $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(8; 4)$ найдите координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$.

Для того чтобы найти координаты вектора, который является суммой двух или нескольких векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты.

Пусть у нас есть два вектора $\vec{a}$ с координатами $(a_x; a_y)$ и $\vec{b}$ с координатами $(b_x; b_y)$. Суммой этих векторов будет новый вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, координаты которого $(c_x; c_y)$ вычисляются по следующему правилу:

$c_x = a_x + b_x$

$c_y = a_y + b_y$

В условии задачи даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$.

Найдем координату $x$ результирующего вектора, сложив абсциссы (координаты $x$) данных векторов:

$x = 2 + 8 = 10$

Теперь найдем координату $y$ результирующего вектора, сложив ординаты (координаты $y$) данных векторов:

$y = 6 + 4 = 10$

Таким образом, координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равны $(10; 10)$.

Ответ: $(10; 10)$.

27. Для векторов $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(8; 4)$ найдите длину вектора $\vec{a} + \vec{b}$.

Чтобы найти длину вектора $\vec{a} + \vec{b}$, необходимо сначала найти координаты самого вектора-суммы, а затем вычислить его длину (модуль).

1. Найдём координаты вектора-суммы. Для этого сложим соответствующие координаты данных векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$. Обозначим результирующий вектор как $\vec{c}$.

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2+8; 6+4) = (10; 10)$

2. Теперь найдём длину (модуль) полученного вектора $\vec{c}(10; 10)$. Длина вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Подставим координаты вектора $\vec{c}$ в формулу:

$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{c}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Ответ: $10\sqrt{2}$

28. Для векторов $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(8; 4)$ найдите координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$.

Чтобы найти координаты разности двух векторов, необходимо из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго. Если даны векторы $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, то координаты их разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ будут равны $(x_1 - x_2; y_1 - y_2)$.

В условии задачи даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$.

Найдем координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$, вычитая соответствующие координаты:

Первая координата (по оси x): $2 - 8 = -6$.

Вторая координата (по оси y): $6 - 4 = 2$.

Таким образом, вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $(-6; 2)$.

Ответ: $(-6; 2)$.

29. Для векторов $\vec{a}(2; 6)$; $\vec{b}(8; 4)$ найдите длину вектора $\vec{a} - \vec{b}$.

Для того чтобы найти длину вектора разности $\vec{a} - \vec{b}$, необходимо выполнить два шага: сначала найти координаты самого вектора разности, а затем вычислить его длину (модуль).

1. Нахождение координат вектора разности.

Разность двух векторов находится путем вычитания их соответствующих координат. Пусть даны векторы $\vec{a}(x_a; y_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b)$. Их разность $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ будет иметь координаты $(x_a - x_b; y_a - y_b)$.

В нашем случае даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$. Найдем координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (2 - 8; 6 - 4) = (-6; 2)$

Итак, мы получили вектор разности с координатами $(-6; 2)$.

2. Нахождение длины (модуля) вектора.

Длина вектора $\vec{v}(x; y)$ обозначается как $|\vec{v}|$ и вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора:

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Применим эту формулу для нашего вектора разности с координатами $(-6; 2)$:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2}$

Выполним вычисления:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

Упростим полученный корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Ответ: $2\sqrt{10}$.

30. Для векторов $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(8; 4)$ найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, заданных своими координатами на плоскости, находится по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$
В данном случае нам даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$.
Подставим их координаты в формулу:
$x_1 = 2, y_1 = 6$
$x_2 = 8, y_2 = 4$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 16 + 24 = 40$
Ответ: 40

31. Для векторов $ \vec{a}(2; 6) $, $ \vec{b}(8; 4) $ найдите угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ воспользуемся формулой, связывающей скалярное произведение векторов и косинус угла между ними. Косинус угла равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин (модулей):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 16 + 24 = 40$

2. Вычислим длину (модуль) вектора $\vec{a}$. Длина вектора с координатами $(x_1; y_1)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$.

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

3. Вычислим длину (модуль) вектора $\vec{b}$.

$|\vec{b}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами.

$\cos(\alpha) = \frac{40}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{80}} = \frac{40}{\sqrt{40 \cdot 80}} = \frac{40}{\sqrt{3200}}$

Упростим выражение в знаменателе:

$\sqrt{3200} = \sqrt{1600 \cdot 2} = \sqrt{1600} \cdot \sqrt{2} = 40\sqrt{2}$

Теперь найдем значение косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{40}{40\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

5. Найдем угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

32. Для векторов $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(8; 4)$ найдите число $t$, при котором вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{a} - t\vec{b}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(8; 4)$. Нам нужно найти такое число $t$, при котором вектор $\vec{a}$ будет перпендикулярен вектору $\vec{a} - t\vec{b}$.

Условие перпендикулярности можно записать в виде уравнения:

$\vec{a} \cdot (\vec{a} - t\vec{b}) = 0$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} - t\vec{b}$.

1. Умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр $t$:

$t\vec{b} = t(8; 4) = (8t; 4t)$

2. Вычтем из вектора $\vec{a}$ полученный вектор $t\vec{b}$:

$\vec{c} = \vec{a} - t\vec{b} = (2; 6) - (8t; 4t) = (2 - 8t; 6 - 4t)$

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{c}(2 - 8t; 6 - 4t)$. Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot (2 - 8t) + 6 \cdot (6 - 4t)$

Приравняем это выражение к нулю и решим полученное уравнение относительно $t$:

$2(2 - 8t) + 6(6 - 4t) = 0$

Раскроем скобки:

$4 - 16t + 36 - 24t = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4 + 36) - (16t + 24t) = 0$

$40 - 40t = 0$

Перенесем слагаемое с $t$ в правую часть:

$40 = 40t$

Найдем $t$:

$t = \frac{40}{40} = 1$

Ответ: 1

33. Для векторов $ \vec{a}(1; 1) $, $ \vec{b}(-1; 1) $, $ \vec{c}(1; 2) $ найдите число $ t $, при котором вектор $ t\vec{a} + \vec{b} $ перпендикулярен вектору $ \vec{c} $.

По условию, вектор $t\vec{a} + \vec{b}$ перпендикулярен вектору $\vec{c}$. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Запишем это условие в виде уравнения:

$(t\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$

Сначала найдем координаты вектора $t\vec{a} + \vec{b}$, используя данные координаты векторов $\vec{a}(1; 1)$ и $\vec{b}(-1; 1)$.

1. Умножим вектор $\vec{a}$ на скаляр $t$:

$t\vec{a} = t(1; 1) = (t \cdot 1; t \cdot 1) = (t; t)$

2. Сложим полученный вектор $t\vec{a}$ с вектором $\vec{b}$:

$t\vec{a} + \vec{b} = (t; t) + (-1; 1) = (t-1; t+1)$

Теперь у нас есть вектор $t\vec{a} + \vec{b}$ с координатами $(t-1; t+1)$ и вектор $\vec{c}$ с координатами $(1; 2)$.

Вычислим их скалярное произведение. Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2$.

$(t\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (t-1) \cdot 1 + (t+1) \cdot 2$

Приравняем это выражение к нулю и решим полученное уравнение относительно $t$:

$(t-1) \cdot 1 + (t+1) \cdot 2 = 0$

$t - 1 + 2t + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(t + 2t) + (-1 + 2) = 0$

$3t + 1 = 0$

$3t = -1$

$t = -\frac{1}{3}$

Ответ: $t = -\frac{1}{3}$.

34. Для векторов $\vec{a}(1; 1)$, $\vec{b}(-1; 1)$, $\vec{c}(1; 2)$ найдите такие числа $t, s$, для которых $\vec{c} = t\vec{a} + s\vec{b}$.

Для нахождения чисел $t$ и $s$ необходимо решить векторное уравнение $\vec{c} = t\vec{a} + s\vec{b}$, подставив в него координаты заданных векторов: $\vec{a}(1; 1)$, $\vec{b}(-1; 1)$ и $\vec{c}(1; 2)$.

Запишем уравнение в координатной форме:
$(1; 2) = t(1; 1) + s(-1; 1)$

Выполним операции с векторами в правой части уравнения.
Сначала выполним умножение векторов на скаляры:
$(1; 2) = (t \cdot 1; t \cdot 1) + (s \cdot (-1); s \cdot 1)$
$(1; 2) = (t; t) + (-s; s)$
Затем сложим полученные векторы:
$(1; 2) = (t - s; t + s)$

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат. Это позволяет нам перейти от одного векторного уравнения к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными $t$ и $s$:
$ \begin{cases} t - s = 1 \\ t + s = 2 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(t - s) + (t + s) = 1 + 2$
$2t = 3$
$t = \frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение $t$ во второе уравнение системы ($t + s = 2$), чтобы найти $s$:
$\frac{3}{2} + s = 2$
$s = 2 - \frac{3}{2}$
$s = \frac{4}{2} - \frac{3}{2}$
$s = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомые числа найдены.

Ответ: $t = \frac{3}{2}$, $s = \frac{1}{2}$.