Номер 19, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Стороны правильного треугольника $ABC$ равны $3$, $O$ — центр описанной окружности. Найдите длину вектора $\overline{OA} + \overline{OB}$.

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, его центр описанной окружности $O$ совпадает с его центроидом (точкой пересечения медиан, биссектрис и высот).

Для центроида $O$ любого треугольника $ABC$ выполняется свойство, что сумма векторов, проведенных из центроида к вершинам, равна нулевому вектору:$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$.

Из этого векторного равенства можно выразить сумму векторов, которую нам нужно найти:$\vec{OA} + \vec{OB} = -\vec{OC}$.

Длина (или модуль) вектора-суммы будет равна длине вектора $-\vec{OC}$. Длины противоположных векторов равны, поэтому:$|\vec{OA} + \vec{OB}| = |-\vec{OC}| = |\vec{OC}|$.

Длина вектора $\vec{OC}$ — это расстояние от центра описанной окружности $O$ до вершины $C$, что по определению является радиусом $R$ этой окружности. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса описанной окружности правильного треугольника.

Радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По условию задачи, сторона треугольника $a = 3$. Подставим это значение в формулу для радиуса:$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Следовательно, длина вектора $\vec{OA} + \vec{OB}$ равна радиусу описанной окружности, то есть $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$