Номер 15, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и равны соответственно 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.

Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ используется формула:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Рассмотрим ромб $ABCD$. По свойствам ромба, его диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам и являются взаимно перпендикулярными.

1. Найдем длины векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка. Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, имеем:
$|\vec{AO}| = AO = \frac{1}{2} AC$
По условию задачи $AC = 12$, следовательно:
$|\vec{AO}| = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.
Аналогично для вектора $\vec{BO}$:
$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD$
По условию задачи $BD = 16$, следовательно:
$|\vec{BO}| = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

2. Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.
Вектор $\vec{AO}$ лежит на прямой $AC$, а вектор $\vec{BO}$ лежит на прямой $BD$.
Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), то и векторы, лежащие на этих прямых, также перпендикулярны.
Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равен $90^\circ$.

3. Вычислим скалярное произведение.
Подставим найденные значения в формулу:
$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = |\vec{AO}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot 8 \cdot \cos(90^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(90^\circ) = 0$.
$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = 6 \cdot 8 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$